单元测试（2）

本刊试题研究组

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．方程Cx28=C3x－828的解集为_____________

2．把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有_____________种

3．一个容量为30的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20］，3；（20，30］，4；

（30，40］，5；（40，50］，8；（50，60］，6；（60，70］，4，则样本在（40，70］上的频率为_____________．

4．用伪代码表示的一个算法如右框所示，如果输入的x值是20，那么输出的y值是_____________．

5． 在（x－2x）5的二项展开式中，x3的系数是_____________ ．（用数字作答）

6．已知（1－2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2+a4+a6的值为_____________

7．某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为_____________．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）

8．已知函数f（x）=log2x，在区间［12，2］上随机取一x0，则使得f（x0）≥0的概率为_____________．

9． 随机变量ξ的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，若期望E（ξ）=13，则方差V（ξ）的值是_____________．

10．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=_____________．

11．4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有_____________

12．已知{an}是等差数列，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|（n∈N）．

某学生设计了一个求Tn的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填_____________

13．在直角坐标系xOy中，一个质点沿x轴左右跳动，跳动的速率是每秒中一个单位．已知该质点向左跳动的概率是13，向右跳动的概率是23.若质点从原点开始跳动，则第6秒此质点在点（－2，0）的概率为_____________

14．已知直线ax+by=1（a2+b2≠0）与圆x2+y2=50有公共点且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有_____________ 条

二、解答题：本大题共6小题，共计90分

15．（本题满分14分）

若二项式（23x＋x）n的展开式中的常数项为第五项．

（1） 求n的值；

（2） 求展开式中系数最大的项．

16．（本题满分14分）

某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：

若在全厂随机抽取1名工人，则抽到第二车间男工的概率是0．15．

（1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人参加座谈会，问应在第三车间抽取多少名？

（3）设y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率．

17．（本题满分15分）

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，

（1）若每个盒子都有球，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

（2）若恰有一个盒子空着，有多少种投放方法？

（3）若每个盒子内投放一球，并且至少有2个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

18．（本题满分15分）

某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：

付款方式分1期分2期分3期分4期分5期

频数4020a10b

已知分3期付款的频率为0．2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1．5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．

（1）求上表中a，b的值；

（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；

（3）求η的分布列及数学期望Eη．

19．（本题满分16分）

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且3≤m≤8．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．

（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；

（2）如何投资才可获得最大年利润．

20．（本题满分16分）

（1）已知k，n∈N，k≤n，求证：kCkn=nCk－1n－1；

（2）若n∈N，n≥3，证明：∑nk=1k2Ckn=n（n+1）·2n－2；

（3）设数列a0，a1，a2，…是公差不为0的的等差数列，证明：对任意的正整数n，函数p（x）=a0C0n（1－x）n+a1C1nx（1－x）n－1+a2C2nx2（1－x）n－2+…anCnnxn是关于x的一次函数

参考答案

一、填空题

1． {4，9} 2． 81 3． 35 4． 150 5． －10 6． 3647． 2 8． 23 9． 59 10． 1335 11． 2880 12． n2－9n+40 13． 20243 14． 72

二、解答题

15．解：（1） ∵ Tr＋1＝Crn（23x）n－r（x）r

x的指数为－n-r3＋r2＝0，

∵ （23x+x）n的展开式中的常数项为第五项，∴ r＝4．

解得n＝10．

（2） ∵ Tr＋1＝Cr10（23x）10－r（x）r，其系数为Cr10·210－r．

设第k＋1项的系数最大，则Ck10·210-k≥Ck+110·29-k，

Ck10·210-k=Ck-110·211-k，（6分）

化简得：2k+1≥10-k，11-k≥2k， 即83≤k≤113，∴ k＝3．

即第四项系数最大，T4＝C310·27·x－56＝15360x－56．

16． （1）150 （2）20 （3）古典概型1531

17．解：（1）考虑去杂法，A55－1=119（种）

∴满足条件的放法数为：119（种）

（2）先取一个空盒，再将5球按 2，1，1，1分成4组，在分给4个盒子，

共C15C25C13C12C113！A44=1200（种）

∴满足条件的放法数为：1200（种）

（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种，

第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种，

第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：C35×1=10种，

第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：C25×2=20种，

∴满足条件的放法数为：1+10+20=31（种）

18．（1）由a100=0.2得a=20，因为40+20+a+10+b=100，所以b=10，

（2）“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率：0.83+C13·0.2·（0.8）2

（3）记分期付款的期数为ξ，依题意得

P（ξ=1）=40100=0.4，P（ξ=2）=20100=0.2，P（ξ=3）=0.2

P（ξ=4）=10100=0.1，P（ξ=5）=10100=0.1

因为η的可能取值为1，1．5，2（单位万元），并且

P（η=1）=P（ξ=1）=0.4

P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4

P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2

所以η的数学期望为Eη=１×０．４＋１．５×０．４＋２×０．２＝１．４（万元）

19．解：（1）由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润y1，y2分别为：

y1=10×x－（20+mx）=（10－m）x－20 0≤x≤200

且x∈N y2=18×x－（40+8x）－0.05x2=－0.05x2+10x－40

所以y2=－0.05（x－100）2+460，0≤x≤120，x∈N.

（2）因为3≤m≤8，10－m>0，所以y1=（10－m）x－20为增函数，

又0≤x≤200，x∈N，所以x=200时，生产A产品有最大利润为（10－m）×200－20=1980－200m（万美元）又y2=－0.05（x－100）2+460，0≤x≤120，x∈N，所以x=100时，生产B产品有最大利润为460（万美元）

现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

（y1）max－（y2）max=（1980－200m）－460=1520－200m>0，3≤m<7.6时

=0，m=7.6时

<0，7.6

当m=7.6时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；当7.6

20.（本小题满分16分）

证明：（1）左边＝kCkn=k·n！k！（n-k）！=n！（k-1）！（n-k）！，

右边＝n·（n-1）！（k-1）！（n-k）！=n！（k-1）！（n-k）！，

所以kCkn=nCk-1n-1；5分

（2）k2Ckn=k·kCkn=k·nCk-1n-1，而kCk-1n-1=（k-1）Ck-1n-1=（n-1）Ck-2n-2+Ck-1n-1，

∴k2Ckn=n（n-1）Ck-2n-2+nCk-1n-1.9分

∴∑nk=1k2Ckn=n（n-1）∑nk=2Ck-2n-2+n∑nk=1Ck-1n-1=n（n-1）·2n-2=n（n+1）·2n-2；11分

另法：k2Ckn=k·kCkn=k·nCk-1n-1，

要证：∑nk=1k2Ckn=n（n+1）·2n-2，只需证∑nk=1k·Ck-1n-1=（n+1）·2n-2.

设f（x）=x（1+x）n-1，则

由x（1+x）n-1=x（C0n-1+xC1n-1+x2C2n-1+…+xn-1Cn-1n-1）

=xC0n-1+x2C1n-1+x3C2n-1+…+xnCn-1n-1，9分

两边同时求导，得（1+x）n-1+（n-1）x（1+x）n-2=C0n-1+2xC1n-1+3x2C2n-1+…+nxn-1Cn-1n-1，

令x=1，得C0n-1+2C1n-1+3C2n-1+…+nCn-1n-1=（n+1）·2n-2，即∑nk=1k·Ck-1n-1=（n+1）·2n-2得证.

∴原命题成立；11分

（3）由条件，设等差数列a0，a1，a2，a3，…公差为d，d≠0，

则p（x）=a0C0n（1-x）n+a1C1nx（1-x）n-1+a2C2nx2（1-x）n-2+…+anCnnxn

=a0C0n（1-x）n+（a0+d）C1nx（1-x）n-1+…+（a0+nd）Cnnxn

=a0［C0n（1-x）n+C1nx（1-x）n-1+…+Cnnxn］+d［C1nx（1-x）n-1+2C2nx2（1-x）n-2+…+nCnnxn］

=a0［（1-x）+x］n+dnx［C0n-1（1-x）n-1+C1n-1x（1-x）n-2+…+Cn-1n-1xn-1］14分

=a0+dnx［x+（1-x）］n-1

=a0+dnx

∵d≠0，所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式.16分