三个“二次”的转化策略

所谓三个“二次”是指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式.这三者之间有着密不可分的联系，三个“二次”以二次函数为核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.二次方程是否有根，可以看对应二次函数图象与x轴是否有交点，若有根，则图象与x轴的两个交点的横坐标即为二次方程的两根.一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同.

一、基本方法

1.与一元二次函数有关的问题

样题1已知函数y=x2-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围为.

分析：设f（x）=x2-2x+3.因为区间端点含有参数m，要讨论区间与对称轴的位置关系.若画出图形，发现二次函数的最小值就是2，当x=0时，函数值就是3，所以1肯定要在区间内，即m≥1，又由图象的对称性知，f（0）=f（2），所以m≤2，即1≤m≤2.

点拨：画二次函数图象要从开口方向、对称轴与区间的相对位置关系、顶点和区间端点等几个方面来考虑.

样题2若二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）的值为.

分析一：根据已知f（x1）=f（x2），则有ax21+bx1+c=ax22+bx2+c，整理得x1+x2=-ba，从而求出f（x1+x2）=f（-ba）=c；

分析二：从图象角度来考虑.由f（x1）=f（x2）知图象对称轴为x=x1+x22，所以0与x1+x2关于x1+x22对称，即f（x1+x2）=f（0），从而求出f（x1+x2）=c.

点拨：求解二次函数有关问题，最简洁的处理方法是扣住二次函数的图象，研究二次函数的图象要紧紧扣住图象的开口方向、对称轴与区间的相对位置关系、特殊点的函数值等方面.

样题3已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1.

（1）若a=1，作出函数f（x）的图象；

（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

分析：第一小问当a=1时，f（x）=x2-|x|+1，由f（-x）=f（x），所以函数为偶函数，则只有先画出x≥0时，f（x）=x2-x+1的图象，然后再作关于y轴对称的图象，即得y=f（x）的图象.

第二小问，求二次函数的最值，首先要考虑开口方向，即首先要考虑a=0，a>0，a<0，在此约束下再考虑对称轴与区间的相对位置关系.

点拨：求解二次函数有关的最值问题要紧紧扣住二次函数的图象，即先考虑二次函数图象的开口方向，再考虑对称轴与区间的相对位置.

2.与一元二次方程有关的问题

样题4关于x的方程x4-2x2-|x2-1|+k+1=0有两个不同的根，则k的取值范围是.

分析：本题是四次方程，研究高次方程的常规思路是降次.将原方程化为（x2-1）2-|x2-1|+k=0，换元令t=|x2-1|，所以原方程转化为t2-t+k=0.由t=|x2-1|知

t>1时，t的任何一值对应的x的值有两个，t=1时，对应的x的值有三个，01的值.设f（t）=t2-t+k，由函数对称轴为t=12，所以要满足条件，则必须f（0）<0，即k<0.

点拨：二次以上的一元方程问题，常常是通过换元或因式分解转化为一元二次方程问题来处理，转化时要将已知条件也进行等价转化.

样题5已知函数f（x）=-3x2+a（6-a）x+b.

（1）若不等式f（x）>0解集为{x|1

（2）若方程f（x）=0有一根小于1，另一根大于1，当b>-6且b为常数时，求实数a的取值范围.

分析：第一小问根据题意f（x）>0解集的两端点数1，2即为对应方程f（x）=0的两个根，由根与系数关系知3=a（6-a）3，2=-b3，解得a=3，b=-6.

第二小问：因方程中含有字母参数a和字母常数b，要求出根只能通过求根公式，然后再考虑大根大于1，小根小于1.这样做比较繁，一般情况下学生都不敢再往下做.其实本题是已知根的分布，可以从图象出发来考虑.由函数知图象开口向下，结合图象知只有f（1）>0便可满足条件，则-3+a（6-a）+b>0，由b>-6且b为常数，所以将-3+a（6-a）+b>0看成关于a的一元二次不等式a2-6a+3-b<0，解得3-b+6

点拨：求解与一元二次方程有关问题的思路一是根据一元二次方程，利用因式分解或求根公式求根，利用韦达定理解决有关根的分布问题；思路二是根据相应的一元二次函数，考虑图象与x轴的交点个数，或利用一元二次函数图象研究根的分布问题.

3.与一元二次不等式有关的问题

样题6解不等式-3x2-2x+8≤0

分析：将原不等式二次项系数变为正的，即为3x2+2x-8≥0，因式分解得（3x-4）（x+2）≥0，则不等式解集为{x|x≤-2或x≥43}.

点拨：一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0），其中Δ=b2-4ac.

（1）当a>0时，若Δ>0，ax2+bx+c=0有两个根x1，x2（x1x2}；若Δ=0，ax2+bx+c=0有两等根x1，x2（x1=x2），所以不等式解集为{x|x≠x2}；若Δ<0，方程ax2+bx+c=0无解，所以不等式解集为R.

（2）当a<0时，将二次项系数化为正，即转化为（1）来处理.

样题7解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0（a∈R）.

分析：因ax2-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1）.分类讨论：

当a=0时，原不等式的解为x>1；

当a>0时，比较两根大小得：当a>1时，原不等式的解为1a

当a<0时，1a<1，原不等式的解为x<1a或x>1.综上原不等式的解集：当a>1时，原不等式解集为{x|1a1}；当a<0时，原不等式解集为{x|x<1a或x>1}.

点拨：简单的含参数一元二次不等式进行分类讨论的规律：（1）若二次项系数含有参数，应讨论其系数是等于0，小于0，还是大于0；一般地，二次项系数小于0时，将不等式转化为二次项系数为正的不等式.（2）判断相应一元二次方程根的个数，讨论一元二次不等式的判别式Δ与0的关系.（3）若相应一元二次方程有根，且根含有参数，要讨论根的大小关系，从而确定解集形式.

二、三个二次之间的相互转化

1.转化为二次函数图象求解

样题8不等式0≤x2-（a+1）x+a+1≤1的解有且只有一个，求a的取值范围.

分析：若分别求出不等式x2-（a+1）x+a+1≥0和x2-（a+1）x+a+1≤1的解集A、B，再求A∩B.因为不等式中含有参数，求解不等式较繁，再求交集时更繁，需要分类讨论.实事上求解时若考虑用二次函数图象来求解，则比较方便.设f（x）=x2-（a+1）x+a+1，分别作出f（x）的图象和直线y=1和y=0围成的区域，要函数f（x）图象与区域只有一个交点，则必须函数f（x）图象与直线y=1相切，即x2-（a+1）x+a=0有两个等根，解得a=1.

点拨：将求解不等式有解的问题转化为二次函数问题，求解的关键是构造恰当的二次函数，将已知条件等价转化为二次函数图象所满足的条件.

样题9设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=.

分析：若直接将不等式左边拆开整理为三次函数，因函数表达式含有参数，图象不定，

求解恒成立时要讨论的情况较多.其实本题考虑两个函数y1=（a-1）x-1，y2=x2-ax-1，

函数y1=（a-1）x-1，y2=x2-ax-1都过定点P（0，-1）.又因为二次函数开口向上，当

x→+∞，y2取值大于零，要满足已知条件，则对一次函数来说，当x→+∞，y1也必须为

正，则a-1>0，即a>1.又一次函数过点Q（1a-1，0），即对一次函数来说当x>1a-1时，

y1>0，当x<1a-1时，y1<0，所以二次函数也必须经过Q点，代入得：（1a-1）2-aa-1-1=0，

解之得：a=0或32，舍去a=0，得a=32.

点拨：将求解不等式在区间上恒成立问题转化为二次函数的图象问题，转化时要注意抓住图象相互之间的关系，探求二次函数所满足的条件.

2.转化为一元二次方程

样题10若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是.

分析：本题是研究一元二次不等式有解问题，因x2-ax-a+3的开口向上，所以要满足条件则只要方程x2-ax-a+3=0有实数根，Δ=a2+4（a-3）≥0，解得a≤-6或a≥2.

点拨：将含参数不等式有解求参数问题转化为一元二次方程是否有解，只要考虑判别式的符号，避免了分类讨论，简化了运算.

样题11已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）

分析：本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法.解题突破口为将f（x）

点拨：将一元二次不等式的解集问题转化为二次方程问题的根源是一元二次不等式解集的端点数值就是相应一元二次方程的两个根.

样题12已知函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根.

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在实数m、n（m

分析：第一小问由f（-x+5）=f（x-3）得函数f（x）的对称轴为x=1，所以b=-2a，又由方程f（x）=x有等根，解得b=1，所以f（x）=-12x2+x；

第二小问f（x）=-12（x-1）2+12，挖掘出隐含的条件f（x）≤12，所以[3m，3n]（-∞，12]，即n≤16，所以[m，n]为函数y=f（x）单调递增区间，根据题意有f（m）=3m，f（n）=3n，所以m、n是方程-12x2+x=3x的根，解得m=-4，n=0.

点拨：第二小问中将函数的定义域与值域的有关问题转化为一元二次方程的解求解，转化中若分类讨论情况较多时要抓住隐含条件，缩小参数的范围，减少分类讨论的次数.

样题13如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-120（1+k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

分析：第一小问在y=kx-120（1+k2）x2（k>0）中，令y=0，得kx-120（1+k2）x2=0.

由实际意义和题设条件知x>0，k>0.

∴x=20k1+k2=201k+k≤202=10，当且仅当k=1时取等号.

第二小问：∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka-120（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根.

由Δ=（-20a）2-4a2（a2+64）≥0得a≤6.

此时，k=20a+（-20a）2-4a2（a2+64）2a2>0.

∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

点拨：（1）求炮的最大射程即求y=kx-120（1+k2）x2（k>0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解.

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.

3.转化为一元二次不等式

样题14对一切实数x，二次函数f（x）=x2+1的图象恒在一次函数g（x）=a|x|的上方.

分析：根据题意有x2+1≥a|x|对x∈R恒成立.当x=0时，不等式恒成立，a∈R，

当x≠0时，a≤|x|+1|x|，|x|+1|x|≥2，当x=±1时，取等号，所以a≤2.

点拨：将函数图象问题转化为一元二次不等式问题求解.求解不等式恒成立问题有两个思路：一是分离参数；二是构造函数f（x），求函数f（x）的最小值.

（作者：王小青，江苏省如皋中学）