随机占优方法及其在基金经理管理技能评价中的应用

摘要：基金经理管理技能是评价基金经理的重要因素，但却难以科学准确地度量。随机占优方法可以从基金的历史业绩中挖掘出更多的数值特征，从而更全面地反映基金经理的管理技能。本文利用2005-2011年开放式偏股型公募基金的数据进行实证检验，结果发现基金经理管理技能存在显著差异，而随机占优方法可以在综合基金业绩的收益、风险、偏度等特征后有效地反映这种差异，并且不受历史业绩的指标选取影响。

关键词：随机占优 管理技能 基金经理 应用

一、前言

普通投资者在选择基金时，基金经理的管理技能是其考虑的重要因素之一。基金公司在遴选、奖惩、淘汰基金经理时，基金经理的管理技能也是最主要的决定因素。基金的历史业绩尤其是历史收益率作为基金经理管理技能的表现形式，一直以来都是投资者和基金公司评价基金经理管理技能的重要甚至唯一指标。其结果是导致基金经理急功近利，追求短期收益和排名，而疏于风险管理，极大地损害了基金投资者的利益。而且，由于大部分基金在各种业绩排名中的地位并不稳定，业绩排名的时间选择对排名结果影响非常明显。

基金经理的管理技能是潜在的、隐性的，难以直接度量，直接以基金在一段历史时期内的业绩代表基金经理管理技能未免有失偏颇。事实上，即使最优秀的基金经理也不能保证其管理的基金在任何时刻都比其他基金表现得更为出色。只要基金在大部分时间内获得较好的业绩，就可以认为该基金的基金经理具有较高的管理技能。那么，如何才能对基金经理的管理技能作出科学的评价呢？

为了使评价结果更科学准确，评价方法除了衡量收益水平之外，还必须体现风险等更多信息在内。作为一个随机变量，基金业绩的所有特征都包含在其分布函数内，因此，随机占优方法是一种值得考虑的检验方法，因为其本质是比较随机变量的分布函数。随机占优检验准则的理论推导过程很繁琐，但在实际应用中却非常简单易行，根据分布函数很容易给出判断。

问题在于，基于随机占优的评价方法是否能够基于历史业绩对基金经理的管理能力作出有效的区分？本文将建立基于随机占优的评价方法，并根据该方法利用我国开放式基金的数据进行实证研究，对该方法的有效性进行检验。

二、文献综述

自Jensen（1968）[1]发现共同基金没有超越市场的表现以来，基金经理的管理技能一直是备受关注的问题。

选时选股能力是基金经理管理技能的一个重要表现特征，也是目前已有相关研究中最多的。Treynor&Mazuy（1966）[2]、Henriksson&Merton （1981）[3]、Chang&Lewellen（1981）[4]分别对CAPM模型加以改进，形成了以T-M模型、H-M模型、C-L模型为代表的一系列方法，后续研究中Ferson&Schadt（1996）[5]以及Goetzmann，Ingersoll&Ivkovic（2000）[6]又提出了包括在此基础上进一步改进的条件T-M模型和GII模型。此外，Daniel et al.（1997）[7]在对组合的具体特征加以考察的基础上提出了Daniel特征性测度方法。在这些方法上形成的大量研究发现了基金经理具备选股能力的证据，但没有发现具有选时能力的证据。国内学者对我国证券投资基金的选时选股能力也进行了诸多研究，得到的结论也大致相同，汪光成（2002）[8]还发现基金经理的选时选股能力在不同年份有着不同的表现。

基金经理管理能力的另一个表现特征就是能使基金持续获得较好业绩，即基金业绩具有持续性。这方面的实证检验也很多，但对于基金业绩是否具有持续性、在多长期限内具有持续性以及持续性的表现形式都存在争议[9-16]。此外，Malkiel（1995）[17]还发现美国基金业绩在不同年代的持续性特征也不同。

此外，不断有学者对前述方法提出运气、模型设定错误、生存偏差、实证检验统计效果弱等质疑。为此，又有学者试图从基金经理的跳槽和对公开信息的处理等方面对基金经理的管理技能作出判断。但是，这些研究虽然证实了基金经理管理技能上存在差异，却很难度量这种差异究竟有多大。

综上，已有研究无法全面、客观地对基金经理的管理技能进行度量和比较。

三、基于随机占优的评价方法构建

随机占优方法是在不确定情形下寻求最优决策的方法之一。

（一）随机占优的经济学含义

假设一个随机变量A的累计分布函数为，定义随机占优函数如下：，并且对且，有

（1）

容易发现，对，有

（2）

若两个随机变量A和B满足，，则称随机变量A是s阶随机占优于随机变量B的，此时若还，使得，则称A是严格s阶随机占优于B的。根据随机占优函数的定义，若A是s阶随机占优于B的，则对，A也是k阶随机占优于B的，但反之不真。

一阶和二阶随机占优具有非常直观的图示效果。当我们比较两个随机变量A和B时，如果对任何x，A大于等于x的概率都要大于等于B大于等于x的概率，且存在x使前者严格大于后者，则A一阶随机占优于B，反映到图上就是A的累计分布函数始终在B累计分布函数的右下侧，如图 1所示。A一阶随机占优于B意味着A的均值一定大于B的均值，如果A、B代表财富或收益等变量，一阶随机占优对应于经济学对理性预期的假设。

图1 基金收益率A一阶随机占优于B

一阶随机占优的条件非常严格，在现实中往往很难达到。但有时，也许存在至少一个收益率水平x，使得对，A大于等于y的概率都要大于B大于等于y的概率，即表示收益率为A的基金在损失控制方面比收益率为B的基金具有更大的优势，这时我们仍可认为前一基金更优，这就是二阶随机占优概念所表达的含义。二阶占优意味着A的累计分布函数可能出现在B的左上侧，但对任意x， A的累计分布函数和横坐标在[0， x]内所包围的区域面积 一定小于B的累计分布函数和横坐标在[0， x]内所包围的区域面积，如图 2所示。A二阶随机占优于B不仅意味着A的均值大于等于B的均值，还意味着A的方差比B的方差更小，当A、B代表财富或收益等变量时，二阶随机占优恰好符合经济学中理性经济人追求高收益低风险的假设[18]。

图2 基金收益率A二阶随机占优于B

三阶随机占优对应的是投资者对收益率正偏度的偏好[19]。收益率的正偏度意味着收益率分布密度的右侧尾部比左侧尾部长，也就是大部分情况下的收益率略低于平均收益率水平，但以收益率均值为基准，获得较高收益的概率要大于获得较低收益的概率。投资者这一心理特征已被许多研究所证实。

上述三种随机占优准则不仅对投资者偏好做极少的假设，而且有着深刻的经济含义，因此比较常用。更高阶的随机占优在经济学中的含义还不是很明确，在经济金融中很少运用。因此，我们的评价方法也仅考虑一阶、二阶和三阶随机占优。

（二）随机占优方法应用

在实际应用中，随机变量的分布函数往往是未知的，这就需要我们根据样本数据去估计和检验。由于样本数据的随机性，即使两个变量本来是同分布的，从样本数据观察得到的结果也可能显示出微小的差异。因此，可以把分析过程分为两大步。首先，根据样本数据检验两个变量的随机占优函数是否存在显著差异。如果是，再进一步检验是否其中一个变量随机占优于另一个变量。

假设有两个随机变量Y和Z，分别得到样本数据和。将两样本合并到一起，并从小到大排序，得到序列，其中。

1、随机占优函数的估计[20，21]

由于在随机占优的检验中，并不需要对整个定义域每一点进行检验，而只需要检验这些点即可，下面的计算也仅限于这些点，并且如前所述，仅考虑一阶、二阶及三阶随机占优。Y的随机占优函数可按照下述方法逐步计算：

（1）首先计算Y的样本频率函数，Z的样本频率函数也可类似计算。

（2）然后由低阶到高阶逐步计算各阶随机占优函数，

一阶随机占优函数（3）

二阶随机占优函数，（4）

三阶随机占优函数，（5）

Z的随机占优函数也可类似计算，这里不再重复。

2、同分布检验

理论上需要检验Y和Z的随机占优函数是否属于同分布，但由于Y和Z都是随机变量，而各阶随机占优函数是它们的函数，因此实际上只需要检验Y和Z是否属于同分布。

检验两个独立的、总体分布类型未知的样本是否属于同分布的常用方法包括Kolmogorov-Smirnov Z检验（简称K-S检验）和Wald-Wolfowitz runs检验（简称W-W检验）。K-S检验和W-W检验都属于全貌检验，当结论是两总体分布不相同，尚不足以说明是位置不同、变异程度不同还是偏度不同。K-S检验适用于判断两个连续分布随机变量的分布是否相同，W-W检验适用于连续型和离散型随机变量的分布检验，但是功效不如K-S检验。其他检验方法还包括检验分布中心位置的Mann-Whitney U检验和检验分布范围的Moses Test of Extreme Reactions检验。

由于我们只需要判断两样本是否同分布，而无需在分布不同时判断是什么不同，因此可以在样本属于连续型分布时采用K-S检验，样本属于离散型分布时采用W-W检验。

3、随机占优检验

如果同分布检验结果拒绝了Y和Z的随机占优函数属于同分布的原假设，我们就可以进一步进行随机占优检验。

根据随机占优函数的性质，我们容易得到以下判断准则：Y对Z是s阶随机占优的，当且仅当对任意，有，而且有一个n使得不等号严格成立，反之亦然。

由于低阶随机占优意味着必然有更高阶的随机占优，因此我们可以依次进行一阶、二阶、三阶的随机占优检验。

四、基金经理管理技能差异性的实证研究

（一）数据选取

国外涉及基金业绩的实证研究一般采用月度数据，但考虑到我国基金业历史较短，基金经理职位变换频繁，若采用月度数据则容易出现样本数据量过小，不足以达到统计检验要求的问题，因此这里采用基金业绩的周度数据进行实证研究。

为了避免将基金类型导致的业绩差异带入基金经理管理技能的比较中去，只选择偏股型基金，并将基金和基金经理组合配对后进行比较。选择2005年4月8日-2011年12月31日期间偏股型开放式基金的周数据。数据分为基金业绩评价数据和基金经理数据两部分，分别来源于国泰安数据库和好买基金研究中心 。为避免由于样本量过小和样本数据的随机性导致的判断结果“失真”，剔除基金经理管理一只基金持续时间短于三个月（12周）的数据。最终保留的数据总共包含73307条记录，涉及基金584只，其中股票型基金416只，混合型基金168只。样本中共涉及基金经理1093个，“基金—基金经理”组合1466个，其中股票型和混合型基金对应的“基金—基金经理”组合数分别为829个和637个。样本期间内基金记录最短为14周，最长为304周，平均209.71周。

基金经理的管理技能最终表现为基金的业绩，而对于业绩评价的指标，包括度量总体业绩、选时能力、选股能力等方面的众多指标。由于侧重点不同，可以有很多不同的选择。在这里，我们主要考虑对基金经理的管理技能进行总体评价，因此主要从其收益水平加以考察，因此选择基金的收益率和超额收益率作为基金经理表现评价的基础指标。这是因为收益率是考察收益水平的最重要也是最基本的指标，但在缺乏做空机制的市场中，市场收益率是影响基金收益率的重要因素，比较管理时期不同的基金经理的管理技能时需要剔除市场因素影响。由于二阶随机占优已经反映基金收益率的风险，因此不使用风险调整收益。

（二）实证过程

实证过程按照如下三个步骤依次进行：

第一步，同分布检验。首先，将“基金—基金经理”组合进行编号，依次记为组合1，组合2，……。然后对组合i和组合j对应的评价数据分别看成两个随机变量的样本数据，利用Kolmogorov-Smirnov方法进行同分布检验，。

第二步，随机占优检验。如果组合i和组合j的检验结果拒绝了同分布的原假设，则依次进行一阶、二阶和三阶随机占优检验。根据随机占优的性质，如果存在低阶随机占优，则高阶随机占优必然成立，因此如果存在一阶随机占优，则不必进行二阶、三阶随机占优检验，如果存在二阶随机占优，则不必进行三阶随机占优检验，反之则需要从一阶开始逐步进行更高阶的随机占优检验。

第三步，对检验结果进行统计分析。对组合i和组合j在前两步中可能出现八种不同的检验结果：分布无显著差异、分布存在显著差异但不存在一阶、二阶或三阶占优情况、i一阶随机占优于j、i二阶随机占优于j、i三阶随机占优于j、j一阶随机占优于i、j二阶随机占优于i、j三阶随机占优于i。为了便于分析，定义

，（6）

定义“基金—基金经理”组合i的得分

（7）

从式（7）中可以看到，Z值实际上是的样本均值，从而其取值范围为[-3，3]。如果基金经理管理技能较高，其管理的基金业绩与其它基金比较时就会表现出较强的随机占优性，从而Z值较高，反之则Z值较低，因此Z值可以作为基金经理表现的最终评价指标。由于，，且，不难发现，这实际上是以所有参与比较的“基金—基金经理”组合中基金经理管理技能的平均水平为基准，来衡量基金经理的管理技能的。基金经理管理技能相对较高，则其对应的组合的Z值为正，反之为负。

需要指出的是，上述三大步骤在选用不同的基础指标比较时需要各自分别计算，彼此互不干扰。此外，我们在实证过程中根据是否区分基金类型，上述计算公式中的n的大小也略有不同。只对同类型基金比较时，股票型基金的组合数为，混合型基金的组合数为，所有基金放在一起比较时，组合数。对同类型基金的组合比较时，各类型的组合计算也分别按照上述三个步骤进行。

（三）实证结果

首先，各“基金—基金经理”组合的Z值都显示出明显的差异性，并且这种差异性不因为比较范围或者业绩指标的不同而变化。在表 1和表 2中，从Z的取值来看，最好和最差组合的Z值分别接近Z理论取值范围的上下限，这表明，从随机占优的角度而言，最好组合的基金业绩几乎一阶占优于其它所有组合，而表现最差的组合则恰好相反。

表1 所有类型基金的组合比较Z值描述统计

注：表中数据是所有基金合并在一起进行比较时的结果，其中Panel A是所有数据的描述统计，而Panel B、C是在分类型比较对应数据的统计结果。

进一步比较发现，无论选取收益率（return）、超额收益率（alpha）还是Sharpe比率这三个常用基金业绩评价指标中的哪一个作为评价基准，比较结果都相差无几。虽然不能完全的一一对应，但Zalpha 值较高的组合，其Zreturn 、ZSharpe 值夜较高，反之亦然。计算Zalpha 、Zreturn 、ZSharpe 的相关性，发现其中任意两者的相关性系数都超过0.85。因此，这种差异与选择的业绩指标无关，即基金经理的管理技能存在明显的差异性。

表2 同类型基金的组合比较Z值描述统计

这种差异并不仅仅表现于业绩特别好或特别差的组合。我们按照Z值的高低，将“基金-基金经理”组合等分为5组，分别计算各组Z值的均值、变异系数、偏度等，结果都表现出明显的差异。这说明，基金经理管理技能水平的差异是系统性存在的，而不是少数个体所特有的。

表3 分组基金Z值均值比较

注（1）Panel A是所有类型基金合并在一起分组比较的结果，而Panel B、C则是同类型基金分组比较的结果。

（2）每个Panel中，将样本分为5组，按Z值从高到低排序分组后分别求均值，1至5组依次从最好到最差。

再次，对于存在多只基金管理记录的基金经理，若管理的是同种类型的基金或者是同时期管理多只基金，则这些“基金-基金经理”组合的Z值表现出正相关性，尤其是当同时期管理多只基金时，其正相关关系表现尤为明显。而当管理的是不同类型的基金或者是在不同时期管理这些基金时，这些“基金-基金经理”组合的Z值却表现出一定程度的负相关性。我们将具有多只基金管理记录的“基金-基金经理”组合挑选出来，两两配对。如果存在一个基金经理有超过两只基金管理记录的，则将其对应的所有“基金-基金经理”组合分别两两配对，以保证这些组合在配对中的对称性。然后考察配对组合的Z值、Z值排名、Z值相对排名 的相关性。考虑到基金类型对基金业绩的影响，这里的Z值采用同种类型基金比较时的Z值，具体结果见表 4。

表4 同一基金经理管理的多只基金Z值的相关性

*：括号内表示的是对应的配对组合数，下同。

**：Z、RZ、RRZ分别表示Z值、Z值排名和Z值相对排名。

从表4可以发现，基金经理管理的同类型或者同时期、尤其是同时期的基金的Z值正相关程度较高，而不同类型不同时期的基金的Z值相关程度低甚至出现负相关的情形。基金经理的管理技能在不同时期、不同类型基金的管理上没有出现预期中的高度一致性，可能是因为基金经理管理技能存在欠缺的表现。基金经理的管理能力可以表现在许多方面，并且在不同方面的能力水平表现并不一致，比如有的基金经理擅长在牛市中寻找机会而在熊市中却表现出较差的抗风险能力，有的基金经理则恰好相反，有的基金经理对债券市场敏感而有的则对股票市场把握更准，有的善于管理小规模基金而有的更善于管理大规模基金，等等。当基金经理遇到适合发挥自己长处的市场行情、基金特征时，就表现较好，反之则较差。按配对组合的基金是否属于同时期的分类分析结果表明，基金经理的表现很难长期保持，而样本数据选取的时间段中恰好包含了典型的牛市和熊市行情，因此可以看出，我国大部分基金经理对市场行情的把握能力是不够全面的，只能在单一的牛市或熊市中取得较好表现，一旦市场逆转，其表现也随之转向。按配对组合的基金是否属于同类型的分类分析结果来看，基金经理的管理技能表现与基金类型有关，因为不同类型的基金在资产配置时对股票债券等市场的限额是不同的，而基金经理在各个市场上捕捉投资机会的能力不一致，因此他们管理不同类型基金时表现也不一致。由于大部分基金经理没有管理过所有不同类型基金的经历，因此判断基金经理表现时，应该与基金类型等因素挂钩。

最后，从同一只基金的不同“基金—基金经理”组合的Z值来看，最好和最差组合的Z值之间也存在明显差异。图3是根据同只基金不同“基金—基金经理”组合的Zalpha值，分别找出该基金Zalpha的最大、最小值，再根据各只基金的Zalpha的最大、最小值分别得到基金最好、最差组合的Zalpha的分布。从图 3可以看出，基金最差组合中大约85%的Zalpha都低于所有组合的平均水平，而最好组合中这一比例只有不到5%。利用Zreturn和ZSharpe，或者根据基金类型分类比较后的结果也都与此类似。这表明，即使在严格排除了基金投资配置上的限制后，基金经理的表现仍然呈现出巨大的差异。

图3 基金最好/最差组合Zalpha分布比较

综合上述结论，不同基金经理的管理技能的确存在差异，而且基金经理的管理技能与其管理的时期、基金类型等因素有关，评价基金经理管理技能时不能脱离这些因素而直接作出判断。

五、结论

本文介绍了随机占优方法并利用该方法对我国开放式基金经理管理技能的差异性进行实证研究，以检验该方法的有效性。结果发现，基金经理的管理技能的确存在明显差异，而且基金经理管理技能与管理基金的时期、基金类型等因素有关，而随机占优方法可以有效反映出这种差异。

随机占优方法作为一种不确定条件下的最优决策方法，在基金经理管理技能的评价中有其特有的优势。利用随机占优方法，我们可以对基金经理在基金收益、风险水平以及收益分布形状等方面进行综合考察，避免了以历史收益论英雄的不足。但是，随机占优方法也有其不足，因为随机占优方法本质上是对分布函数进行比较，因此在样本数据足够多的情况下更有效，样本数据太少就很难避免某些管理时间短的基金经理因为“运气”而更容易获得特别好或特别差的评价。此外，我国基金经理更换频繁，很多基金经理持续管理一只基金的时间都不到一年，这为随机占优方法的应用带来了困难。

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作者简介：王云（1978-），女，复旦大学博士研究生， 上海对外经贸大学讲师