让实验走进数学学习活动

王德华

数学教育家波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式严谨的科学，从这方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来却像一门实验性的归纳科学。”可见，数学教学既要充分体现数学的抽象化的一面，又要重视数学创造过程中的具体化的一面。在实施新课程改革的今天，我们更应该关注后者。让实验走进数学学习活动。

一、实验发现数学公式

数学课上，向学生展示几种装饰物结晶体、观察这些多面体的形状，使学生感受到数学在实际生活的应用。

请学生在硬纸片上画出下列平面图形，并用剪刀裁下这些图形，折一折，你能得到什么样的立体图形？它们有什么特点？（面相等，棱长相等）

学生折成以下五个图形都是正多面体。分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

数一数这五个图形的顶点数（V）、面数（F）和棱数（E），并将V+F与同一图形的E进行比较，填入下表，

从表中你能发现什么规律吗？学生讨论交流后很快就发现公式：V+F-E=2.

感悟：学生通过实验，进一步体会立体图形与平面图形的转换，发展了空间观点，发现了欧拉公式，激发了学生的学习兴趣。

二、实验是归纳的起点

有些题目仅通过实验一、二步，不能发现规律或只能发现错误的规律，必须进行三、四步实验或更多步实验，然后通过观察、分析、归纳，才能找到真正的规律。实验是归纳的起点。

如：将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；依次类推，将一根绳子对折n次，从中间剪断，绳子变成多少段？

一位同学通过实验第一、二步后，认为最后的答案是2n+1（n为正整数）。老师问：对于此答案，同学们有不同的看法吗？大家议论开了，有的认为正确，有的认为错误。我把预先裁好的纸带和剪刀分发到各小组，请同学们进行第三、四、五步实验来检验规律2n+1的正确性。五步实验得到段数分别如下：

3 ， 5 ， 9， 17， 33

启发从以上一列数，发现了什么规律。每位同学开动脑筋，试验，纠错，归纳得出第n次的结果为 2n +1.

感悟： 将一根绳子对折n次，从中间剪断绳子变成多少段？回答此问题，要实验太多的次数是不现实的，如何从有限次的实验中寻找规律呢？但有些规律的获得，并非一蹴而就，需要观察、猜想、验证，这正是新课程标准所体现的理念。

三、用实验来证明定理

人教版八年级下勾股定理这一课的教学，先从毕达哥拉斯的传说故事引入课题，然后让学生观察图形，思考：以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，与以斜边为边长的正方形的面积有怎样的数量关系？借助面积之间的数量关系发现：斜边的平方等于两直角边的平方和。

接下来，探究一般的直角三角形三边之间是否存在这样的数量关系呢？让学生观察书上的格图，并计算，也得到同样的结论。

下面用拼图实验的方法证明勾股定理。课前各学习小组准备4张全等的直角三角形硬纸板放成如图形状。首先，把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2 + b2 ，另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形和一个正方形组成。

接下来在小组内实验，把左下方的直角三角形旋转到左上方，把右下方的直角三角形旋转到右上方变成最后的图形。从图中容易理解新正方形的边长是原直角三角形的斜边c ， 中间正方形的边长是（b-a）。此时根据面积关系式c2-（b- a）2 =4× ab ，化简得到：a2+b2=c2 。

感悟：通过实验，学生探索勾股定理的发现、证明，再现了数学家们探索定理的过程。让学生从中感悟认识客观世界的一般规律。

四、用实验来训练思维

变式实验是中学数学教学中的一种重要教学策略，在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。通过变式实验可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广。上海市青浦县“顾泠沅小组”进行的实践经验甚至认为“变式实验是中国数学教育的主要特征之一”。

题基：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD于D，求证：BE=2CD。

图1

变式1：如图2，等腰Rt△ABC，BE是∠ABC的平分线，过E作ED⊥BC于D点，求证：△EDC的周长等于BC的长。

变式2：如图3，连接AD，求证：∠ADB=45°；

变式3：如图4，若点P为△ABC外一点，且∠APC=135°，判断BP、PC的位置关系； PB、PC、PA之间的数量关系。

变式4：如图5，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD于D，DM⊥AB交BA的延长线于M.连接AD ，求的值。

变式5：如图6，延长BA、CD交于F点，求证：AF+CE=AB；

变式6：如图7，过A作AT⊥BD于T点，写出AT、TE、BE之间的数量关系；（key：AT+TE= ）。（附加：AT+TE=CD）

感悟：通过对图形作一系列的变换，创设问题情境，引导学生从整体上把握共性，感受个性，拓展学生的思维空间，培养学生的应变能力。

五、用实验来探索最值

人教版教材八年级数学上探究：如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A， B两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在直线l上找几个点试一试，能发现什么规律？

这道探究题，我没有匆忙讲如何作图，而是作了如下探索：

1.转化建模

燃气管道转化成一条直线，A，B两镇可视作两点。

2. 实验探究

A，B两镇位于燃气管道的同侧

在点A，B两处分别插一根大头针将皮尺的始端的零刻度线固定在点A.

再取一根大头针C，用针轻轻拉紧皮尺，并在直线上由左而右缓慢移动，且始终保持皮尺过点B.

多次读出皮尺在点B处的刻度值，并做好记录。

比较其刻度值，找出CA+CB最小值，标出此时大头针C在直线上的位置点C.

分学习小组让学生自己动手操作。

3.实验验证

在直线l上C点处放置一块矩形平面镜（镜面向上），让小激光手电筒的光线从点B射向点C（BC为入射光线），观察反射光线是否经过点A。

4.探索作图

由光的反射定律易推出，直线l可以作为对称轴， B点关于直线l的对称点B一定在AC 的延长线上。由以上分析可知：先作出B点关于l的对称点B，再连接AB交直线l于C， C点即为所建泵站位置。

5.理论论证

只要在直线上取除C点外的任意一点，用定理“三角形的两边之和大于第三边”就能证明AC+BC最短。

感悟：让学生感悟从实际问题中建立数学模型，实际问题数学化，同学们积极参与探索活动，在动手操作过程中，学会了观察、思考、交流，实现对数学经典题的再发现和再认识，这才是最有效的学习。

学生在实验活动中学数学，对知识的形成过程，对问题发现，解决、引申等过程的实验探索，可激发学习动机，有助于深刻理解知识，有助于形成证明的基础平台和对逻辑演绎证明的本质把握。这种实验式活动的教学拓宽了学生的思维活动空间，使他们的思维更有深刻性和批判性。它不仅仅关心学习者“知道了多少”，更关心学习者“知道了什么”，“怎样知道的”。它所追求的不仅仅是证明，更重要的是理解，发现和创造，是解决问题的数学精神和乐趣，这是一种新的求实精神，因而它更多的是对传统教学的矫正，至少也是一种有益补充。

（作者单位：江苏省如皋市九华初中）