利用数学思想巧妙解题

戚汝玉

解数学题，从透视条件的审题到利用思想的解题，应该是一个有序、得法、严密的展开过程。

一、分析显隐条件审题

事物的本质总是寓于事物的表象中，所以解题时就要有意识地引导学生通过分析题目的显性条件与隐含条件，分析题目的结论与结论成立的条件，从而找出具有规律性的东西，即抓住问题的实质。这样不仅问题可以迎刃而解，同时也可以提高学生的思维深度。

例如：在同一平面内，已知O到直线l的距离为5，以0为圆心，r为半径画圆，探索归纳：（1）当r为何值时圆O上有且只有一个点到直线l的距离等于3？（2）当r为何值时圆O上有且只有三个点到直线l的距离等于3？（3）随着r值的变化圆O上到直线l的距离等于3的点的个数有哪些变化？许多同学看不懂题目，不知如何下手解决问题，此时可以借助媒体画出图形，通过媒体的演示，很容易看出实际上题目中考察了直线与圆的三种位置关系下直线与圆的交点个数和圆心d与r大小关系，从而得出结论。

再如：在正方形ABCD中，点E在AB上，AE=3，BE=4，点P为对角线AC上任意一点，连接PB﹑PE，当P在AC上何处时，PB+PE最小？并求出最小值？此题中P点的位置是难点，只有确定P点的位置，最小值才能求。此时可以引导学生思

思考直线AC以及AC同侧两点B﹑E，在直线AC上找一点P，使得PB=PE最小，学生一定会想到运用轴对称性中线段最短来解决问题，那么问题就也迎刃而解了。

由于正方形质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可。

二、携同数学思想解题

（一）活化思维——要因转化策略

数学问题中的诸多因素是相互关联，相互制约的。对于已知条件，求解的对象以及求证的结论在观察的基础上，寻找该问题同已有的知识间的练习，通过变换把问题转化成一个或几个易于解决的问题。其思维特点就像匈牙利数学家路莎·彼得所指出那样：“往往不对问题进行正面的攻击。而是不断地将其变形，直至将它转化为已经能够解决的问题”。从某种意义上说转化是解题与证题的精髓。因此在指导学生解题时要特别注意加强这方面的训练，它对提高学生的应变能力，培养学生的思维的灵活性与敏捷性是十分有效的。

例如证明直角三角形的两直角边之和小于写便于斜边上的高之和。在这个问题中实际上是证明如图中的a+b

由ab=ch可得h=ab/c，于是结论可以变为a+b

（二）拓展思维——双向类比策略

唯物辩证法告诉我们：万物之间都有联系，即事物之间具有相同的或相似的属性。数学系统中的知识结构更是如此，我们在寻求解决问题的方法时，就可以由其中的一个或一类问题推动另一个或另一类问题所具有的相似的属性，这就是解题时的类比思维。教学时有计划地把规律相同或类似的知识，运用类比的方法讲解，有助于训练学生解题时的思维拓展，从而快速解决问题。

1、运用纵向类比，培养思维的变通性。

根据数学教材的编排意向，数学的知识结构分析，新授知识一般是旧知识的纵向延伸，所以帮组学生解决问题时也可以有意识的引导学生进行纵向类比。这样不仅可以强化知识，而且可以培养学生思维的灵活性，变通性。

例如：在初一的有理数计算教学中经常会计算到“1+2+3+4+5…+n的值”，很多学生会归纳出1+2+3+4+5…+n= n（n+1），由此教师可以有目的地启发学生计算1×2+2×3+3×4+…9×10的值，并引导学生将其结果化为 ×9×10×11，后让学生计算1×2+2×3+3×4+…n×（n+1）的值，通过类比猜想而得出结果为 ×n×（n+1）（n+2）。

2、运用横向类比，培养思维的跳跃性

同样数学教材中知识的结构以结网连篇形式横向联通，知识以列联，逻辑次序出现，所以在指导学生解题过程中，可以借助相似原理，展开联想的翅膀，进行横向比较，从而解决问题。

例如：（06宿迁中考题第一题） 设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d。（1）如图①当r

所以，当r

在解决本题时如果引导学生类比联想学过的圆与圆的位置关系的分类方法，通过正方形向圆运动的不同图形结论不难得出。

因此从本质上说类比是一种发现的方法而不是一种论证的方法。 在解题中， 类比的重要作用在于启迪思维， 帮助我们寻找解题思路，在此基础上， 再用其他方法解决问题。

（三）互生思维——数形结合策略

著名数学家华罗庚曾经说过“ 数与形是共存于同一体中的事物的两个侧面，数缺形少直观，形离数难入微。”所以在解决数学问题是要注意引导学生从数与形两个侧面对问题进行分析，充分利用形的直观来揭示数学问题的本质，由形想数，利用数来研究形的各种性质，寻求运动规律，即帮助学生学会利用数形结合解决数学问题。数形结合中的形可以是数轴，函数的图像和几何图形等等，一般数形结合可以从两方面入手。

1、以形助数 ：

把数的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受，如相反数，绝对值，不等式及有关的习题可以运用数轴上的点与实数的对应关系来解决，函数问题以及一元二次方程等问题可以通过函数图像来解决。

例如如果关于x的不等式组 的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 个.习题是一个有关不等式的问题，可以结合数轴讲解，直观并易于学生理解。首先解不等式组 ，由①得：x≥ ，由②得：x≤ ，不等式组的解集即为： ≤x≤ ，根据不等式组的整数解仅为1，2，此时是个难点，利用数轴易于确定a，b的范围，才可确定a，b的整数解，即可求解.由于不等式组的整数解仅有1，2，可画如下数轴：

由数轴观察可得 0< ≤1，2≤ <3，从而解得：0

2、以数辅形：

用数式的推理来揭示图形的性质，帮助学生简化解题的方法。如用待定系数法求函数的解析式，用代数法判断直线与圆，圆与圆的位置关系，用勾股定理解决图形问题等等。

例如如图正方形ABCD，E是BC的中点，F在AB上，且BF= ，猜想EF与DE的位置关系，并说明理由。习题看起来是个几何问题，用正方形的性质以及三角形相似等几何方法可以解决问题，但是如果用勾股定理说明思路清晰易懂。

由条件设AB=AC=BC=CD=4a，那么BE=EC=2a，BF=a，由勾股定理可得DF2=25a2，=5a2，DE2=20a2，所以DF2+EF2=DE2，即可得直角三角形，EF⊥DE

总体来说，数形结合方法在解题中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的方法解决一些抽象的数学问题可以起到事半功倍的效果。

在解数学题中，用到的思维方法还有很多，不再一一阐述。总之，学生的思维能力决定着解题能力.因此在平时的教学过程中，教师应有意点拨和训练学生的思维，提高学生的思维能力以促其解题能力，从而提高学生的数学综合素养。

（作者单位：江苏常州武进遥观初中）