非盲图像复原综述

肖宿

摘要：作为目前图像处理领域的研究重点，图像复原可移除图像中的模糊与噪声，具有重要的理论价值和广阔的应用前景。为使图像复原的研究被人们所了解，该文首先对图像复原做了简单的描述，接着介绍了近年来出现的一些非盲图像复原算法，包括基于总变分模型的算法、基于Bregman迭代的算法和基于稀疏表示的算法等，最后基于对现有算法的了解与分析，总结了图像复原研究的难点与趋势。

关键词： 图像复原； 总变分模型； Bregman迭代； 稀疏表示； 优化问题

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）07-1642-03

由于噪声、模糊等不利因素的影响，数字图像的质量通常难以令人满意，无法对其进一步进行研究和利用。观测到的退化与理想的原始图像之间的关系可表示为：

式中，y表示观测图像；A表示模糊算子；x表示原始图像；n表示加性噪声。因此，图像复原的目的是在模型（1）的框架下，估计最优的原始图像x，这是一种典型的线性逆问题。图像复原已成为图像处理领域乃至计算机领域的研究热点，其研究可追溯到上个世纪六十年代，经过逾半个世纪的发展，不断有新的算法和技术涌现。目前，图像复原算法主要分为非盲（non-blind）图像复原算法和图像盲复原算法两大类。当模型（1）中的模糊算子A是已知的，图像复原被称为非盲的图像复原。非盲图像复原算法主要有：基于总变分（TV，total variation）模型的算法、基于Bregman方法的算法和基于稀疏表示的算法等。

1 基于TV模型的图像复原算法

TV模型亦称ROF模型，可表示为：

由L. I. Rudin、S. Osher和E. Fatemi提出[1]，其最突出的优点是抑噪的同时可保留图像边缘等重要信息，该模型已成为图像复原、图像去噪[2]和图像修复[3]等领域使用最广泛的先验模型之一。由于TV模型是不可微分的，基于TV模型的算法需重点考虑图像复原的数值解问题。为求解经典的TV/L2问题，Y. L. Wang等人[4]建立了一种半二次化（quadratic minimization）模型，采用二次最小化方法计算该模型以提高图像复原的效率。J. F. Wang等人[5]扩展了Y. L. Wang等人的算法，将其用于彩色图像复原问题的处理。A. Beck等人[6]提出了一种基于Nesterov梯度法的TV图像复原算法，该算法具有全局收敛速率。基于变量分离和交替方向法（ADM，alternating direction method），M. K. Ng等人[7]将TV/L2模型分解为更简单的子问题进行求解，ADM方法的优点是通过有限步迭代即可得到问题的精确解。结合增广拉格朗日法，S. H. Chan等人[8]提出了与M. K. Ng等人类似的算法，该算法主要用于复原视频图像序列。尽管TV模型可保留图像细节，但复原图像的平滑区域产生阶梯效应（staircase effect），因此一些研究提出在TV模型中加入高阶项以克服其缺点。例如，F. Li等人[9]将TV滤波器和四阶PDE滤波器结合复原图像，避免了阶梯效应的出现。原始-对偶法（primal-dual method）是一类求解经典TV图像复原比较有效的方法。它最早由T. F. Chan等人提出[10]，为了消除模型（2）目标函数的奇异性和不可微性，T. F. Chan等人用新变量替换了其欧拉-拉格朗日方程中的?x/|?x|，得到如下的模型：

及其对偶模型，并通过半光滑牛顿法（semismooth Newton method）对模型（4）及其对偶模型进行求解。M. Hintermuller等人的算法具有超线性的收敛速度，相比T. F. Chan等人的算法，该算法对对偶变量没有过多的约束。E. Esser等人[12]修改了原始对偶混合梯度（PDHG，primal-dual hybrid gradient）算法，将TV最小化问题转化为等价的鞍点问题（saddle point problem），并利用不精确Uzawa算法求解该鞍点问题。由最终的实验结果，E. Esser等人的算法略优于PDHG算法。A. Chambolle等人[13]将TV优化问题转化为更通用的鞍点问题，采用了与PDHG类似的算法处理该鞍点问题。针对不同的具体问题，A. Chambolle等人的算法有着不同的收敛速率。

2 基于Bregman迭代的图像复原算法

近年来，在图像复原领域，Bregman迭代因其简单、稳定、速度快和效率高而受到越来越多的关注。Bregman迭代是一系列以Bregman距离为基础的方法的总称，包括了经典的Bregman方法、线性（linerized）Bregman方法和分裂（split）Bregman方法等。Bregman迭代方法的基本思想是将优化问题分解为等价的非约束优化子问题，其中某些子问题的目标函数由Bregman距离定义。该方法最早S. Osher等人[14]引入图像复原领域，用以改进传统方法对TV模型的处理。为提高经典Bregman方法的性能，将该方法中的二次项0.5×||Ax-y||2 2替换为，并加入误差项0.5×μ||x-xk||2 2，W. T. Yin等人提出了线性Bregman方法[15]，并将其应用于压缩传感问题[16]。为适应模糊矩阵的变化，在对线性Bregman方法修改的基础上，结合稀疏表示技术，J. F. Cai等人[17]提出了一种紧框架域的图像复原算法，该算法可以快速找到图像复原问题的稀疏解。为进一步提高经典Bregman方法的性能，T. Goldstein等人[18]提出了适用更通用的L1正则化问题的分裂Bregman方法。它可看作Bregman方法和算子分裂（operator splitting）相结合的一种方法，且与Douglas-Rachford分裂方法和向前-向后（forward-backward）分裂方法本质上属于同一种方法[19]。J. F. Cai等人[20]将分裂Bregman方法用于基于分析的图像复原问题，分析算子为紧框架小波。相比传统的罚函数法和连续法（continuation method），该算法收敛速度更快，更稳定，参数在迭代过程保持不变。S. Setzer等人[21]为泊松模糊图像复原建立新的能量泛函，它由I-散度（divergence）和TV正则项构成，分裂Bregman方法用以求解该能量泛函。该算法无需内部迭代，相比同类算法更加高效。针对基于有界总变分的图像复原问题，X. W. Liu等人[22]引入扩展的Bregman迭代方法以快速获得最优解。除此之外，X. Q. Zhang等人[23]还提出了一种Bregman化的算法分裂算法，该算法用向前-向后分裂方法求解Bregman迭代子问题，它可应用于非局部（nonlocal）TV图像复原和压缩传感等问题。

3 基于稀疏表示的圖像复原算法

信号的稀疏表示来自对压缩传感问题的研究，作为目前理论研究的一大热点，其在图像处理领域已经得到了较广泛的应用，基于稀疏表示的图像复原算法亦越来越多。针对图像复原问题，K. Bredies等人[24]建立了以lp范式为约束项的优化模型，并用迭代硬收缩（hard shrinkage）方法求解该优化模型。A. Beck等人[25]为图像复原问题 minx{F（x） = f（x） + g（x）} 建立了二次逼近模型，并为计算该模型提供一种快速的迭代收缩-阈值算法，该算法比经典的迭代收缩-阈值算法更快。F. X. Dupe等人[26]将图像复原表示为凸泛函最小化问题，该泛函由数据保真项（data-fidelity term），稀疏促进项（sparsity-promoting term）和附加项组成。一种快速的向前-向后分裂方法被用于最小化泛函，为自适应选择参数，文中还引入了广义交叉检验法（GCV，generalized cross validation）。基于边界优化的思想，娄帅等人[27]通过类期望最大化获得罚函数优化问题的解。该算法采用了轮廓波（contourlet）分解表示图像，与基于小波变换的算法相比，运算代价较低，能更好保护图像的边缘和细节信息。针对单一正则项存在的不足，N. Pustelnik等人[28]提出了包含多正则项的图像复原问题，一种快速的并行邻近算法（parallel proximal algorithm）被用于处理该问题。N. Pustelnik等人的算法可利用各种正则化技术的优点，并克服其相应的缺点。小波基、小波框架、轮廓波等常作为字典用于分解图像，然而它们无法自适应地刻画图像的结构特征，通过学习获得的字典可具有更好的自适应性。W. S. Dong等人[29]利用主成分分析（principal component analysis）技术学习图像子字典（sub-dictionaries），并自适应地选择子字典组成字典分解图像。基于非局部自相似约束（non-local self-similarity constraint）和自适应的分段自回归模型（piecewise autoregressive models），I. Daubechies等人[30]构造了图像复原的l1优化问题模型，并提出用迭代收缩算法处理该优化问题。

4 结论

图像复原是一项具有广阔发展空间和应用前景的技术。随着信号处理技术、控制技术、估计理论、数值分析方法的进步，新的复原算法会不断地涌现。对于未来可能出现的新算法，多通道图像的复原、复原的实时性、退化参数的自适应选择、模糊的辨识、稀疏表示/压缩传感技术、Bregman迭代及其他优化技术等将是其研究的重点内容。

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