从三道试题的错误解法谈几何概型概念的教学

吕家强

一、三道试题的教学反馈

以下是几何概型概念教学后，学生在解决有关概率问题所出现的困惑或者是错误，列举出来并做思考，反思一下：在几何概型概念的教学中应该抓住什么？

[问题1]事件区域缺失了吗

例1.假设小明家订了一份报纸，可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明的爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间.试求小明的爸爸能得到报纸的概率.

解析：为方便作图，记6：30为0时，设送报人把报纸送到小明家的时刻为x，小明爸爸离开家的时刻记为y，则0≤x≤60，30≤y≤90（单位：min），则x、y对应区域如图1，小明爸爸要能看到报纸，必有y≥x，在坐标系中作出上述区域，可见S矩形ABCD=602，S五边形AEFCD=602-·302.

这是笔者在课堂上举的一个例子，正要总结时，下边站起来一位同学.

学生A：老师，我觉得你的解法不对！（全班同学都愕然！）

教师：请你说一下原因好吗？

学生A：你看△OAE内的点，是送报人在7：00之前把报纸送到，这个区域内小明的爸爸也能看到报纸，你在算概率的时候为什么不把这一区域包含在内呢？

教师：△OAE内的点应该是怎样的？

学生：一定能看到报纸（齐回答）。

学生A：可你的五边形AEFCD内不也是一定能看到吗？

很多投以赞同的目光，对呀，△OAE内的点也表示能看到报纸，为什么算概率时把这一块缺失了呢？

教师：请大家再思考，△OAE内的点与AEFCD内的点有区别吗？（開始议论）

……

[问题2]正确答案背后的问题

下边是笔者自编的一道作业题，是象限角与几何概型结合，从批改作业的过程中发现，有近半数的同学采取了下述解法：

例2.已知角α是第一象限的角，tanβ>0，求α与β终边重合的概率.

这个答案是对的，可这种解法对吗？

[问题3]同一事件发生的概率居然会有两个吗

下边这道习题在文[1]～[6]中都作为几何概型中典型的反例被引用.但都是只分析了错误的原因和正确的解法，对于典型的错误，分析错因并找到正确的解法只是对其认识的第一层面，关键是这样的错误能给教和学带来什么启示，弄清这些才能达到认识上的真正提高.本文也把该例引出，以与读者共同反思几何概型概念的教学.

几何概型教学后，故意把这道习题交给学生处理，正如前面文章所言，学生的解法确实呈现以下两种情形.

例3.如图3，在等腰直角△ABC的斜边AB上随机取一点M，求AM的长小于AC长的概率.

解法一：点M随机分布在线段AB上，在AB上截取AC′=AC，于是P（AM

解法二：如图4作射线CM随机分布在∠ACB的内部，在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=■=67.5°，故满足条件的事件的概率为P=■=■.

二、对几何概型概念教学的认识

教材中给出的几何概型的定义是这样的，如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称几何概型.几何概型概念教学的着力点是什么？

1.几何概型是用来运算随机事件概率的一种理想模型和有效的方法，所以应在随机元素（基本事件）构成的区域内展开

2.测度应反映出区域的可测性

几何概型解决的问题对应的基本事件是无限的、不可数的、等可能的，但必须是可测的.在问题2中，虽然学生做对了答案，但这种方法是错误的，这是由于用面积作为测度的话，根本不能测量出一、三象限和阴影部分的面积，正确的方法应该是用弧度或角度作为测度来解决问题.

3.测度是与等可能性相对应的

也就是说，测度必须能刻画每一个基本事件发生的等可能性.问题3的矛盾非常明显地体现了这种对应性，事件“AM的长小于AC长”的随机性是由点M等可能出现在AB上产生，对应的测度应该是长度.对于解法二，用角度作为测度，应该与下面的问题中随机性相对应.

在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在∠ACB的内部随机作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

对于这个例子，点M是由射线CM在∠ACB的内部等可能出现产生的，只有角度才能反映这种等可能性.对等可能的理解是几何概型教学中的一个难点，实际教学中没必要在文字上多做解释.概念教学中可多搜集这样的反例，通过对比、鉴别以加深对这一点的理解.也可以借助计算机软件，恰当设计一些例子，让这一问题直观化，像文[2]中用几何画板设计动画加深学生理解的做法很值得我们借鉴.

参考文献：

[1]高峰.两类几何概型问题的辨析[J].高中数学教与学，2007（11）.

[2]昌明.对一道课本几何概型习题讨论引出的思考[J].数学教学，2008（09）.

[3]胡典顺.例谈几何概型[J].中学数学，2007（07）.

[4]许浩.几何概型典型错误理解的诊断与分析[J].数学通讯，2008（06）.

[5]庞新军.几何概型典型误解举例[J].数理化解题研究，2008（10）.

[6]刘瑞美，方立新.几种常见的几何概型及简单应用[J].中学数学研究，2008（07）.

（作者单位 安徽省濉溪县第二中学）