巧解线性目标函数的值域

杨亚雄

线性目标函数是新课标的一大热点和必考内容，随着其内容向纵深发展，考查形式多样化，与之密切相连的线性目标函数的值域逐渐浮出水面，活跃在近年的高考题和竞赛题中，笔者根据近几年线性目标函数的值域总结了几中解决方法，供大家参考。

线性目标函数 值域 线性平移

解线性目标函数 Z=Ax+By 的约束条件的值域问题，就是在由满足约束条件的可行解（x y）组成的可行域内，利用线性平移的方法找到点（x0 y0 ），使目标函数取得最大值或最小值。

线性规划求值域的基本方法有五种：分别是几何意义法、变量替换法、解不等式法、界点定值法、向量投影法。

例设x y满足条件 x-4y≤1 ①3x+5y≤25 ②

x≥1 ③

求z=2x-y的值域

解法：

1.几何意义法

如图1先作出可行域求得A（5、2）B（1、1）C（1、225）作出l0 ：2x-y=0

再平移，当过l0 C点时，zmin =-125

2.变量替换法

由z=2x-y得y =2x- z代入约束条件

-7x+4z≤-3 ①

13x-5z≤25 ②

x≥1 ③

把z看作纵轴，划出区域如图2 观察可知最高点H（5、8）L（1、-125）

所以zmin =-125 zmax=8

3.解不等式法

由解法2可知-7x+4z≤-3 ①

13x-5z≤25 ②

x≥1 ③

可变为4z+37≤x ①

x≤5z+2513 ②

x≥1 ③

所以1≤5z+2513 ①

4z+37≤5z+2513 ②

解得-125x≤8

4.界点定值法

把△ABC的顶点A（5 、2）B（1、1）C（1、225）的坐标分别代到目标函数中

当x=5 y=2时z=2x-y=2×5-2=8

当x=1 y=1时z=2x-y=2-1=1

当x=1 y=-125时z=2x-y=2×1-225=-125

即zmin =-125 zmax =8

5.向量投影法

笔者根据自己教学过程中发现学生对目标函数的几何意义理解不够深刻时错误解题与浪费时间的原因。当然求解线性规划问题方法较多，平常练习时要多思考，考试时才能想到高效率的方法。

下面有兩道练习题供大家用以上几种方法解决。

1）2012年全国高考大纲卷理科13题文科14题

x y满足条件x-y+1≥0 ①

x+y-3≥0 ②

x+3y-3≥0 ③

则z=3x-y的最小值为（ ）

2）2012年安定区东方红中学第一学期期末试卷13题

x y满足条件

y≤x ①

x+y≤2 ②

y≥0 ③

则z=3x-y的最大值为（ ）