高考模拟题精选之数学（理科）解答题

沈新权 陈平 许志锋

★★ 难度中等

★★★难度较高

★★ 1. 如图1所示，已知函数y=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<的图象与y轴的交点为（0，-1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和x0+，-2.

（1） 求函数f（x）的解析式及x0的值；

（2） 若θ∈，π且sinθ=，求f（θ）的值.

★★ 2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2a，cos（B-A）=2sin2.

（1） 求sinAsinB的值；

（2） 若a2+b2=c2，求tanC的值.

★★ 3. 如图2所示，在平面凸四边形ABCD中，

AB=a，BC=b，CD=c，DA=d.CA平分∠BCD.

（1） 求证： a·sinB=d·sinD；

（2） 若a=3，b=5，c=7，·=，求cos∠BCD的值.

★★ 4. 某单位从A，B两套试题中选择一套对应聘者进行面试.他们约定：应聘者通过掷一枚质地均匀的六面骰子决定自己用哪套试题，掷出点数为1或2的人用A套试题进行面试，掷出点数大于2的人用B套试题进行面试.现有4个人参加面试.

（1） 求这4个人中用A套试题进行面试的人数大于用B套试题进行面试的人数的概率；

（2） 用X，Y分别表示这4个人中用A，B套试题进行面试的人数，记？孜=X-Y，求随机变量？孜的分布列与数学期望E？孜.

★★ 5. 已知箱中装有2个白球和2个黑球，现从箱中任取一个球（每个球取到的机会均等）.如果取到的是白球，就把白球放回，并向箱中另加2个黑球；如果取到的是黑球，就把黑球放回，并向箱中另加1个黑球和1个白球.记随机变量X为取球3次后箱中白球的个数.

（1） 求X=3的概率；

（2） 求X的分布列和数学期望E（X）.

★★ 6. 设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对一切n∈N*，4Sn=+2an-3恒成立.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=2Sn·3n-1，试比较++…+与3n的大小关系.

★★ 7. 如图3所示，正方形ABCD的边长为2，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，且AE=4，CF=1.

（1） 求证：CE⊥平面BDF；

（2） 求二面角E-DF-B的正切值.

★★ 8. 如图4所示，在△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，BD为AC边上的中线，将△ABD沿BD折起，构成二面角A′-BD-C.在平面BCD内作CE⊥CD，CE=.

（1） 求证：CE∥平面A′BD；

（2） 如果二面角A′-BD-C的大小为90°，求二面角B-A′C-E的余弦值.

★★ 9. 如图5所示，D，E是△ABC边上的点，DE∥BC，EC=2AE=2，∠ACB=90°.把△ADE沿DE折起，使BC的位置转至B′C′，此时AC′=.

（1） 求证：AC′⊥平面ADE；

（2） 若平面AB′D与平面AC′E所成的角为45°，求B′C′的长.

★★ 10. 如图6所示，菱形ABCD与矩形BDEF所在的平面互相垂直，∠BAD=.

（1） 求证：CF∥平面ADE；

（2） 若BF=k·BD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值；

（3） 在（2）的条件下，求直线BC与平面AEF所成角θ的正弦值.

★★★ 11. 如图7所示，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1.

（1） 证明： EM⊥BF；

（2） 求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的大小.

★★★ 12. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，焦距为12.过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点且斜率为1，AB的中点M在直线x+2y=0上.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 已知点P是椭圆上在y轴右侧的任意一点，过点P作圆O：x2+y2=36的切线，切点为Q，求PQ·PF的最大值.

★★★ 13. 椭圆+=1 （a>b>0）的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为. P是椭圆上横坐标大于1的点，直线y= kx+t （k≠0）与椭圆交于A，B两点，直线PA，PB与x轴交于C，D两点.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 若对于任意的t∈R，PC=PD恒成立，求k的取值范围.

★★★ 14. 椭圆+=1 （a>b>0）上的点1，到两个焦点F1，F2的距离之和为4，PA，PB是椭圆的两条切线，A，B为切点.

（1） 求椭圆的方程和焦点坐标；

（2） 若P在以AB为直径的圆上，求△PF1F2的周长的最大值.

★★★ 15. 设函数f（x）=cosx-+2sinx-sinx+.

（1） 求函数f（x）的单调递增区间；

（2） 如果函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求y=g（x）在[0，2]上的最小值.

★★★ 16. 已知 f（x）=xlnx.

（1） 求 f（x）的最小值；

（2） 若正数a，b，c满足a+b+c=3e，求证： alna+blnb+clnc≥3e.

★★★ 17. 设函数f（x）=ex-ax+sinx.

（1） 当x≥0时，如果a=1，求 f（x）的最小值；

（2） 证明：当x≥0时，如果a=2，则不等式f（x）≥f（-x）恒成立；

（3） 当x≥0时，如果不等式f（x）≥f（-x）恒成立，求实数a的取值范围.

★★★ 18. 设函数f（x）=x-lnx+，曲线y=f（x）在点（1， f（1））处的切线方程为2x+y-5=0.

（1） 求实数a的值，并证明当x≥2时， f（x）>0；

（2） 是否存在实数k，使得函数 f（x）的图象在区间[2，+∞）上与函数y=的图象有两个不同的交点？如果存在，求出实数k的取值范围；如果不存在，说明理由.

★★★ 19. 已知函数 f（x）=ax2-2x+lnx.

（1） 若 f（x）无极值点，但其导函数 f′（x）有零点，求a的值；

（2） 若 f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明 f（x）的极小值小于-.