探究辅助函数在解题中的应用

黄翠莲

摘 要：构造辅助函数由于能够较快的解决变量的问题，在中学数学应用比较广泛。尤其是在高考的解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起辅助函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。

关键词：辅助函数；化归；转化探究

一、直接法构建辅助函数在解题中的应用

例题1：若 x>0，求证：sinx

分析：如果直接从函数角度入手y=sinx和y=x，易得当x>1，sinx

归纳分析上述解题步骤我们不难得出几个关键环节：

（1）转化：把已知问题转化为与0相关的方程或不等式；

（2）构建新函数y=g（x）

（3）利用导数等方法，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明

探究1：不等式的证明：

不等式证明的本质就是比较大小，可以是整式与常数、整式与整式之间的大小问题，常见的不等式证明即可转化为整式值的大小比较，特别是转化为整式与常数的比较，进一步转化为求函数的最值问题。

如：已知函数，求证：当时，恒有

分析：结合例题1的方法对于不等式进行移项构造函数，从其导数入手求出最大值与0的关系即可证明。

探究2：方程的根与恒成立问题：

方程的解和恒成立问题是我们在高考中经常出现的问题，如何解决好这些问题是我们初步应用数学思想构造辅助函数的一个养成过程，当然在具体的题目中要求我们要善于分类和化归。

如：已知函数在是增函数， 在（0，1）为减函数。

（1）求f（x）、g（x）的表达式；

（2）求证：当x>0时，方程有唯一解；

（3）当b>-1时，若在x∈内恒成立，求b的取值范围.

分析易得：

问题（2）是关于方程根的问题，结合例题1的方法进行转化可得。设 ，

令，并由x>0得解知x>1令由列表分析：

可知在x=1处有一个最小值0，当x>0且x≠1时，>0，

∴=0在（0，+∝）上只有一个解.即当x>0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解。

问题（3）是恒成立问题，当b>-1时，使得在x∈内恒成立对于原来的式子转化为在x∈内恒成立，

故设，

在为减函数又b>-1所以：-1

通过以上的例题我们知道方程有解、无解和解个数问题及恒成立問题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域，或直接构造函数求最大值和最小值，进而进行比较得出。

综合上述几个问题可知，在构建函数是要注意到：当F（x）在 [a，b]上单调递增，则x>a时，有F（x）>F（a）。如果f（a）=φ（a），要证明当x>a时，f（x）>φ（x），那么，只要令F（x）=f（x）-φ（a），就可以利用F（x）的单调增性来推导.也就是说，在F（x）可导的前提下，只要证明>0即可.

二、间接法构建辅助函数在解题中的应用

上述几个问题相对来说比较形象明了，我们容易构建出相应的函数，但有一些问题直接构造解决不了问题，需要我们进一步去剖析，化归为我们常见类型在构建辅助函数，这就要求我们去注重题目所给的函数的特征。

例题2：（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式都成立。

分析：本题是山东卷的第（II）问，数列的实质是特殊的函数，用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解，同时加强知识点间的联系。但是如果我们直接转化为：

进而构建此时我们无法直接利用导数解决问题，因此必须对于该式子进行转化：只需令，则问题转化为：当x>0时，恒有成立，现构造函数 ，求导即可达到证明。

例题3：证明当

分析：如果本题我们直接构造函数，我们无法直接通过导数转化为相应的求值域问题，这是需要对不等式进行变化。

两边取对数得进一步化简得

构建辅助函数（）

，进而当x>0时

所以在（1，+∝）为增函数。可得即f（x）在为增函数所以即故

综合上面两题我们可知该类问题的处理步骤：

（1）尝试直接构建辅助函数，发现不可行；（2）对所给的不等式、方程进行恒等变形；（3）回归直接法。

由上我们可以发现间接法的主要特点是直接构建函数的时无法直接求导或者求导后比较复杂无法利用导数的特点解题，这就要求我们首先要清楚认识到所构建函数的易处理程度进行尝试进而发现解题的方法，这样问题就会变得简单明了。

总之，通过对构造辅助函数的研究，我们已看到了函数思想的初步应用，函数思想的应用想当广泛，但这些方面都涉及到最基础知识，只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果。