“等腰三角形的判定”教学实录

张晶

【教学目标】

知识与技能：掌握等腰三角形的判定，会用等腰三角形的判定，进行简单的推理、判断、计算作用.

过程与方法：让学生经历等腰三角形判定方法的发现过程，培养学生的观察力、实验推理能力.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想；并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【教学重难点】

重点：等腰三角形的判定方法及其运用.

难点：综合运用等腰三角形的性质和判断解决问题.

【教法与学法】

在教学中，把重点放在学生如何学，教师不断设置思维台阶，启发学生主动参与，亲自动手实践，通过学生自己猜、折、画、证等探索性活动，自己主动“发现”等腰三角形的判定方法，便于激发学生学习热情，体验成功的喜悦，在引导学生得到感性认识的同时逐步向逻辑的合理性推理跨越，这样做有利于开拓学生的创造性思维，帮助他们探本求源，让每位学生都学有价值的数学.

【教学用具】

墨水涂抹后的等腰三角形，直尺，圆规.多媒体辅助教学.

【教学实录】

师：前面我们学习了等腰三角形的性质，哪位同学来叙述一下？

生：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

师：很好.下面有这样一个问题：如图1左所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心它的一部分被墨水涂没了（用黑纸遮挡，如图1右所示），只留下一条底边BC和一个底角∠C.同学们想一想，用什么办法能把原来的等腰三角形ABC重新画出来？在家试试看.

（学生先画出残余图形，略作思索，然后独立画图.画好以后，同学间相互交流画法，教师在全班巡视，参加同学间的议论，最后请两名学生口答画图的方法.）

生：先用量角器量出∠C的度数，然后以BC为一边，B为顶点画出∠B=∠C（图2略）.

生：取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线，与∠C的一边得到一个交点A，连结AB（图3略）.

师：很好！刚才我看了一下，同学们大都想出了上面两种画法，第一种方法，用角的相等来画.第二种方法，过一边中点作垂线的方法画.同学们，你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗？

生：是.

师：到底是不是等腰三角形？这就是今天我们所要学习的内容——“等腰三角形的判定”.（板书.）

要判定刚才作出的三角形是等腰三角形，应当加以论证.我们先分析第一种画法，这就是说，在两角相等的条件下能否判定画出的是等腰三角形？大家想一想，在这里已知是什么？求证又是什么？请同学回答一下.

【评析：第一种画法正好可以得出这节课要学的判定定理.第二种画法则是今后学习线段垂直平分线性质的事实基础.据了解，当时学生还有将残余图形对折的第三种画法，而这又是等腰三角形对称的体现.几何来源于现实生活，对于初学平面几何的学生来说，选择适当时机让他们从个体实践经验中学习，可以提高学习的主动性.在这里，等腰三角形的判定定理不是由教师给出，而是让学生先凭经验画图，那么画出的图形究竟是不是等腰三角形呢？产生了问题，然后从问题是出发，得出判定定理.这样做，改变了过去学生只是被动接受的状况，因此，学习的兴趣和积极性有所提高.】

生：已知：在△ABC中∠B=∠C，求证：AB=AC.

师：考虑一下，这个题目怎样来证明.现在告诉我们的是两个角相等，要求证的是两条线段相等，而要证明两条线段相等，常用什么方法？

生：三角形全等.

师：图上有吗？

生：没有.

师：那么怎么办？

生：添辅助线.

师：同学们动笔做做看，怎么添辅助线？又怎么证明？把主要证明过程写一写.

（学生认真练习，教师巡视了解情况，待全班学生基本完成证明之后，教师又要求学生相互议论还有哪些不同的证明方法？全体学生对不同的画法很感兴趣.接着，教师请学生谈谈自己是怎么证明的.）

生：作∠A的平分线AT，交BC于T（图3略）.在△BAT和△CAT中，

∵∠BAT=∠CAT，∠B=∠C，AT=AT，

∴△BAT≌△CAT（角角边）

∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）.

师：这位同学添了∠A的平分线，通过角角边来证明三角形全等，从而得到AB=AC.还有其他方法吗？

生：过A点作AD⊥BC，垂足为D（图4略）.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC.

在△ADB和△ADC中，

∵∠ADB=∠ADC∠B=∠C AD=AD

∴△ADB≌△ADC（角角边）

∴AB=AC.

师：这位同学是作了BC边上的高AD，证明两个直角三角形全等，然后得到对应边相等，还有其他方法吗？

生：作BC边上的中线AM（图5略），用边角边证全等.

∵AM是BC边上的中线，

∴BM=CM……

（这名学生发现不对，停顿不讲了，不少学生纷纷指出她的错误.）在△AMB和△AMC中，∵BM=CM，AM=AM，

∴ ∠B=∠C，

这是“边边角”，不能证明两个三角形全等.

【评析：由于这节课利用学生的画图经验导出等腰三角形的判定定理，因此学生感到亲切、自然，兴趣很浓.课上出现多种证明的方法，虽然第三种画法是错误的，学生在证明的中途发现问题，但这种错误尝试可使学生吸取教训，增长解题的能力，将来解决实际问题时，可以少走“弯路”，避免盲目尝试.在这节课上完之后，有学生还提出，不添辅助线的证法：如用反证法，假设AB与AC不相等，根据一个三角形中大边对大角的道理， ∠B与∠C也不相等，与题设矛盾，所以一定是等腰三角形；学生能想出如此多样的证明方法，可见兴趣的力量是不可低估的.“知之者，不如好之者；好之者，不知乐知者”.由“好”和“乐”所产生的追求和探索知识的迫切性是克服一切困难的内部动力.】

师：经过证明我们知道，刚才大家通过画图获得的那个几何例题是正确的.它可以作为——“等腰三角形的判定定理”.同学们能不能用语言来正确叙述一下这条判定定理？

生：“有两个底角相等的三角形是等腰三角形”.（教师板书.）

师：大家有不同意见吗？在没有说明它是等腰三角形之前，能不能讲“底角”？

生：不能！

（教师擦去“底”字，定理变为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”.然后，教师要求学生翻开课本，集体朗读课本上的判定定理：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.”）

师：课本上讲的和同学们讲的似乎有些不同，但实质是一致的，上面讲的等腰三角形是哪两条边相等.课本上讲清楚了，是相等的角所对的边相等，所以这条判定定理又简称“等角对等边”.第二种画法能不能判定画出的三角形也是等腰三角形呢？这个问题留给大家课后去考虑.有了这条判定定理，今后我们证线段相等，又多了一种方法，在一个三角形中，如果角相等了，就可以得到边也相等.下面我们一起应用这条定理来研究一些题目，先看第一个题目.

求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

想一想，题设是什么？结论又是什么？如何写成已知、求证的形式？

生：题设是三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边；结论是这个三角形是等腰三角形.

师：结合这张图（图6）具体说一下.

生：已知：AG∥BC，∠DAG=∠CAG.

求证：AB=AC.

师：这个题目是证明一个三角形中的两条边相等，应该怎样证？

生：只要证两个角相等.

师：题目已知的是∠1=∠2，能不能使已知的两个角和要求证的两个角相等发生关系.思考一下，请同学回答.

生：∵AG∥BC（已知），

∴∠DAG=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠CAG=∠C（两直线平行，内错角相等）.

∵∠DAG=∠CAG（已知），

∴∠B=∠C（等量代换），

∴AB=AC（等角对等边）.

师：很好.这题要证明△ABC的两边AB=AC，其实只要证明∠B=∠C，由已知的角平分线∠DAG=∠CAG，通过平等线性质就容易证出，接下来，我们研究第二个题目.

如图（图7），△ABC中，∠B=∠C，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED.这个题目是证明两个角相等，看清∠ADE和∠AED在图中的位置.请同学们画一画、想一想，如何充分利用已知条件.

图7

生：要求证∠ADE=∠AED，就必须有AD=AE；要得到AD=AE同，我是通过三角形全等的方法来解决的.

师：哪两个三角形？

生：△ABD和△ACE.

师：你用什么方法证它们全等？

生：我是用边角边的方法.AB=AC，∠B=∠C，BD=EC.

师：条件中并没有AB=AC.

生：这在△ABC中由∠B=∠C可得.

师：这位同学根据已知条件∠B=∠C，利用刚才学到的判定定理“等角对等边”得出了AB=AC，再结合已知BD=EC，∠B=∠C，用这三个条件推出了△ABD和△ACE全等，于是AD=AE，最后在△ADE中用性质定理“等边对等角”得出∠ADE=∠AED（教师边讲边板书下列思路）.

方法一：

BD=CE

∠B=∠C →△ABD≌△ACE→AD=AE→∠1=∠2.

AB=AC

师：还有什么方法？

生：要证∠ADE=∠AED.可以用等角的补角相等来证.就是先证∠ADB=∠AEC.

师：∠ADB=∠AEC怎么得来？

生：是用三角形全等，就是从△ABD≌△ACE得出.

师：这位同学的思路是：（边讲边板书）

方法二：△ABD≌△ACE→∠ADB=∠AEC→∠ADE=∠AED.噢！还有其他方法.

生：用全等三角形的对应角相等来证.

师：哪两个三角形全等？

生：△ABE和△ACD.

师：这两个三角形为什么全等？

生：因为BD=CE，所以BD+DE=CE+ED，就是BE=CD，加上∠B=∠C，AB=AC，所以三角形全等.

师：对，很好！这位同学先由等式性质得出BE=CD，然后根据∠B=∠C，结合今天学习的等腰三角形的判定定理得AB=AC.最后利用边角边得到△ABE与△ACD全等，马上得出对应角相等.（边讲边板书下列思路.）

方法三：

BE=CD

∠B=∠C →△ABE≌△ACD→∠1=∠2.

AB=AC

很好！这道题同学们想出了很多方法.第一种方法：把∠ADE、∠AED理解为同一个三角形的两个内角，有“等边对等角”的思想，结合三角形全等得到.第二种方法：通过等角的补角来证，也是结合三角形全等得到.第三种方法：是把∠ADE和∠AED直接看作两个全等三角形的对应角证出.想出的方法很多，能够从不同的途径去考虑.

【评析：这两道基本例题安排得很好.第一道题比较容易做，是等腰三角形判定定理的简单应用.但编排在练习的开头，让所有学生都通顺利完成，由浅入深是必要的.第二道题则进了一层，证明时既要应用判定定理，又要应用性质定理，绕了个弯，而且可有几条证明途径，例如直接从△ABE≌△ACD能简捷地证出∠1=∠2，这又可以看看学生灵活运用以往学过知识的能力，在数学教学中，配置合适的习题，并且有效地利用它们，对于学生在课堂上独立、积极地进行认知活动具有重要作用，值得引起注意.】

师：下面我们一起来研究第三个题目：在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C，请同学们自己画图.请同学们想想看，在这张图上，由这两个已知条件你能导出什么结论？

生：可以得出∠OBC=∠OCB.

师：能不能从道理上说明一下？

生：因为∠B=∠C，BO平分∠B，CO平分∠C，根据等量的一半相等，可以得到∠OBC=∠OCB.另外还可以得到OB=OC，理由是“等角对等边”.

师：好！现在我把这个题目变化一下，大家看清楚.就在这张图上，过O作一条直线EF和边BC平行，与AB交于E，与AC交于F，请同学们自己画图.考虑两个问题：（1）仔细寻找一下，这张图中有几个等腰三角形？为什么？（2）添上去的这条线段EF和图中的线段EB、FC之间有没有关系？有的话是怎样一种关系？

（学生各自思考几分钟后，教师要求他们相互讨论，顿时气氛热烈.有些学生认为有两个等腰三角形；另一些学生则认为共有5个等腰三角形，还高兴地把自己的理由说给其他同学听.在讨论线段EF时，不同意见更多了，有的说O是EF的中点，因此EF是EB或FC的两倍，还有的说EF等于EB、FC的和……教师在各个讨论组之间来回巡视，并参加一些小组的议论.）

师：讨论到这里，请同学们发表意见.先回答第一个问题，图中有几个等腰三角形？

生：有5个.

师：哪5个？

生：△ABC、△OBC、△AEF、△EOB、△FOC.

师：请你再讲讲理由，△ABC为什么是等腰三角形？

生：因为∠B=∠C，“等角对等边”，所以AB=AC.

师：△OBC刚才已证过，△AEF呢？

生：因为EF∥BC，所以∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，因为∠B=∠C，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF.

师：△EOB为什么是呢？

生：因为BO平分∠B，所以∠EBO=∠CBO，因为EF∥BC，所以∠CBO=∠EOB，所以∠EBO=∠EOB，所以EB=EO，同理可得△OFC也是等腰三角形.

师：很好！大多数同学都看出是5个等腰三角形.第二个问题，添上去的线段EF和EB、FC之间有没有关系？有的话是怎样一种关系？

生：有关系的.EO、FO、EB、FC这4条线段都相等.

师：讲讲理由.

生：有两个三角形△OEB和△OFC中，因为BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，所以∠EBO=∠CBO.∠FCO=∠BCO，因为∠ABC=∠ACB，所以∠CBO=∠BCO，又因为△OBC是等腰三角形，所以OB=OC，因为△AEF是等腰三角形，所以∠AEF=∠AFE，利用等角的补角相等得出∠OEB=∠OFC，所以△OEB≌△OFC，得到EO=FO，EB=FC，再因为EB=EO，所以EO、FO、EB、FC这四条线段相等.

师：大家听懂没有？这位同学是用角角边证△OEB≌△OFC得出EO=FO，EB=FC，再由EB=EO，证出4条线段都相等的.还有其他的证明方法吗？请同学们回去思考.除了这四条线段都相等外，还有其他结论吗？噢，他还没有讲完.

生：EF是EB或FC的2倍.

师：很好.四条线段都相等了，EF就是EB或FC的2倍.

生：还有，EF等于EB+FC.

师：对！还可以得到EF=EB+FC.

师：我把这个题目再改变一下，原来∠B、∠C是相等的，现在变成不等，但是角平分线不变，BO、CO还是∠B、∠C的角平分线.平行线还是不变，EF∥BC，再认真想一想，这个图形中还有没有等腰三角形？有的话又有几个？EF和EB、FC之间还有没有关系，有的话又是怎样一种关系？

生：没有等腰三角形.

师：他认为这图上没有了.同学们再仔细观察一下，有没有？

生：有.

师：是哪个？

生：△OEB和△OFC.

师：理由？

生：因为两直线平行，内错角相等，得到∠EOB=∠OBC，因为BO是角平分线，所以∠EOB=∠OBC，所以∠EOB=∠EBO，△EBO是等腰三角形.△FOC的道理是一样的.

师：还是有等腰三角形，不过是由5个变成了两个.第二个问题，这条线段EF和EB、FC之间还有没有关系？

生：只有EF=EB+FC这个关系.

师：他认为只有一种关系，在等腰三角形△EBO中，EB=EO，在等腰三角形△FCO中，FC=FO，合起来就是EF=EB+FC.这个题目，从原来两个角相等，变成了不等，但是角平分线和平行线这两个条件没有改变，△EBO、△FCO还是等腰三角形，所以EF=BE+FC的关系还是保持的.

【评析：这道讨论题比前面的两道题目要求更高些.第一，它要求学生能根据已给条件自行推测可能的结论；第二，通过图形的变化、引申，让学生在条件发生改变时观察论证结论的变化.这些做法，可逐步培养学生举一反三、灵活转换的基本能力.发展学生的思维，提高课堂教学的时间利用率，课后，我们曾以不同类型的题目进行当堂效果测验.平均分为89.51分，可见适当的变式练习，是使学生熟练掌握基本解题技能技巧的有效措施之一.】

师：今天这节课我们学习了什么呢？第一，我们学习了等腰三角形的判定定理：“等角对等边”.它与前面我们学过的等腰三角形的性质定理：“等边对等角”都是同一个三角形中边角间的一种相依关系.即在一个三角形中，边等可以得角等，角等可得边等.今天初步应用判定定理研究了一些题目.第二，这个判定理是同学们通过画图、估计，然后加以证明自己得出来的.在证明定理及应用定理时，同学们都注意从几种途径来思考，得到了多种解法.在第三个练习中，同学们不仅能够根据已知条件自行推测可能的结论，而且还能在已知条件发生某些改变时，观察结论的变化，这些都是训练我们思维能力的有效方法.请同学们在平时作业中也要多作这种尝试.（作业略.）

总结：本节课除了前面已经评析过的问题情境、激发认识兴趣以及组织尝试练习等特点外，还采用讲、议、练结合的方法，教师通过观察、提问、巡视、谈话等活动，及时了解学生的学习、练习过程、随时回授、调节教学方法，尽量加强有针对性的个别辅导，把发展学生的思维与随时把握学生的学习效果两者结合起来，才能做到“实而不死，活而不虚”.