在数学教学中培养学生思维能力的实践与探究

罗东华

随着数学课程改革的不断推进，其倡导的新观念深刻地影响、引导着教师由重知识传授向重学生思维能力培养转变；由重教师“教”向重学生“学”转变；由重结果向重过程转变。学生的智力发展主要体现在思维能力的提高上，数学的抽象、直觉、想象等用以培养学生的思维能力的优势，是其它学科不能相比和替代的。因此，数学不仅要教会学生掌握必要的数学知识，更重要的是通过数学知识的传授培养学生良好的思维习惯，培养他们的思维能力。

一、创设情境，培养创造思维

学习的最好动力，是对学习材料的兴趣。教师精心创设的问题情境，有利于调动学生的积极性，使之主动参与到教学活动中。为此，教师要在学习内容的趣味性、探究性、适应性和开放性上下功夫，留给学生足够的活动时间和思维空间，从而激发他们的创新意识和能力。思维通常是由问题的情境产生的，在数学课堂教学中，应该积极创设问题情境，变传授数学结论为知识发生发展的过程教学，使学生始终处于积极的思维之中。因此，在数学教学中，教师要尽可能地引入一些直观、形象、生动的材料创设情境，营造氛围。只有这样才能较快地把学生带入特定的环境中，激发兴趣，调动学生思维的积极性。

例1：在“一元一次方程与实际问题”中，我是这样创设情境的：东莞市两大购物中心天虹和海雅为迎接五一，都进行促销活动，其中天虹是全场物品打六折销售，海雅百货是实行买两百送一百的活动，请问在标价一样的情况下，到哪家购物更合算？（此例的情景有利于激发学生的求知欲望）

例2：推导平方差公式，可以组织学生由“数”向“形”探索，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以推出公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

在教师要求记忆的情况下，其实有些学生建立以公式本身的图式表象为内容的条件反射：“（a+b）（a-b）”→“a2-b2”；而有些学生建立以声音表象为内容的条件反射：“平方差公式”→“a加b乘以a减b等于a的平方减b的平方”。 最后进行变式训练。例如：

（a + b） （a - b） = a2 - b2

↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓

（2x+y） （2x-y）=（2x）2-y2=4x2-y2

由式子到式子的学习方式，割裂了数与式的关系。实际上，在初中数学里，式的本质是数，它是为了表示数而引入字母后的产物。通过此方式学习的学生并没有真正建构起a和b的可变性观念，大多数是由式子到式子，一见到超越变式训练范围的问题就不知如何是好，尤其是间隔了一段时间之后，这种学习尽管对一些常规的技能性问题是有效的，但仍然摆脱不了机械学习的影子，时间长了，知识多了，很容易与完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2混淆不清。其实，创造性思维能力的重点不是就解题而解题，而是使学生在做数学题中理解数学，培养应用数学的观念，实现知识的延拓与创新。

由上述两例可见，创设良好的问题情境是激发创造思维的有效方法。教师要善于把握学生的思维特点，在教学的重点、难点或关键处设计问题，创设情境，激发学生求知的欲望，启动学生的思维，提高学生自主探究的能力。

二、合理类比，培养类比思维

类比是数学推理的常见手段，它的实质是根据两对象之间的相似，把信息从一个对象转移到另外一个对象。类比不仅在数学发现方面有着显著作用，在解题教学、考察学生能力等方面也有显著效果。一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生举一反三，由此及彼，灵活应用所学知识。

例3：在讲二次函数的最大利润问题时，我先讲一元二次方程的利润问题：某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；要想每周获得6090元的利润，该商品应如何定价？

解：设商品定价为x元，则单件商品利润为（x-40）元，销售量为[300-10（x-60）]件，根据题意得：6090=（x-40）[300-10（x-60）]。

我接着问学生，如果把“要想每周获得6090元的利润”改成“要想每周获得y元的利润”那又怎样列式呢？采用类比思想，学生非常容易得出：y=（x-40）[300-10（x-60）]。接着又问学生，如果把“要想每周获得6090元的利润，该商品应如何定价？”改成“如何定价才能使利润最大？”学生自然而然想到只要把这个二次函数进行配方就能解决这个问题。

例4：计算：■+■+…+■。

分析：原式的结构很容易联想到数值计算中类似■=■-■的“裂项相消法”，结构上的这种相似性是解题思路的源泉所在。

解：原式=■+■+…+■

=■-■+■-■+…+■-■

=■-■

=■

综上两例可见，运用类比能拓宽学生的视野，启发学生思维；运用类比，多方纵横联想，从而达到搭桥开路的作用；运用类比，使学生凭借以往的经验、知识技能和思想方法，对新旧知识进行分析比较、探索、研究、发现其共同特点。抓住知识之间的内在联系，顺理成章，使学生有“瓜熟蒂落，水到渠成”之感，又创设了情境，发人深思。此外，类比还可以使学生的思维得到有效开发，提高思维的灵活性，使各部分知识相互变通，起到触类旁通的作用。

三、联想迁移，培养逻辑思维

想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。联想是想象力的重要组成部分，培养联想能力，是数学教育的重要任务，也是培养非逻辑思维的关键所在。

例5：关于x的不等式x-5+x-4

本题的基本方法是讨论去掉绝对值，得出x-5+x-4≥1，因此得出a>1。如果联想到绝对值的几何意义，那么本题x-5+x-4就可以理解为“数轴上动点x到定点4和5的距离的和”，而此距离之和有最小值1。类似地，问题“x-5-x-4”又可以理解为“数轴上动点x到定点4和5的距离的差”。

旧知是思维的基础，思维是通向新知的桥梁。由旧知进行联想和类比，也是寻求正确思维方向的有效途径。联想和类比，就是把两种相近或相似的知识或问题进行比较，找到彼此的联系和区别，进而探究出问题的正确答案。

四、变式延伸，培养发散思维

创造能力=知识量×发散思维能力。思维的发散性，表现在思维过程中不受一定模式的束缚，从问题个性中探求共性，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维形式。变式延伸中的“一题多解”、“一解多题”、“一题多变”是训练发散思维的有效途径。

通过对一道题进行多方位、多层次、多角度的变式延伸，引导学生从一道习题抓住一类问题，从特殊问题抓一般问题，不但能激发学生学习的兴趣，而且能使学生学会举一反三，达到训练思维能力的作用。所谓变式延伸就是通过将原题中的条件、结论、内容、图形等作适当变换，解决一类问题的变化，逐步培养学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，进而培养学生的发散思维。

例6：求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式1：顺次连结任意四边形各边中点可以得到什么四边形？并证明你的结论。

变式2：如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连结E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形。连结AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形。如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：

当四边形ABCD的对角线满足 时，四边形EFGH为菱形；

当四边形ABCD的对角线满足 时，四边形EFGH为矩形；

当四边形ABCD的对角线满足 时，四边形EFGH为正方形。

本例题变式1的训练条件具有开放性，变式2的训练结论具有归纳性，使学生对中点四边形的关系更清晰，思维训练更丰富，基本达到了熟练论证特殊四边形。教师应该让学生充分认识例题本身所蕴含的教育价值，学会怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表述自己的解题过程等等。教师只有充分地利用好例题，充分挖掘发挥例题的潜能，才能达到优化学生的认知结构，开阔学生的视野，活跃学生的思维，提高学生解题能力的目的。

数学的魅力就在于“变”，有“变”才有“活”，适当的变式延伸，可以给学生提供一座桥，让学生在已知的水平和未知的水平之间自然过渡。最近发展区把握得好，“变式”才能避免让学生反复地练习同一题型，避免学生在低水平层次之间反复地重复，从而使学生的思维能力得到更宽、更广、更深的培养。

综上所述，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，即使不能解决，也有助于学生应变能力的养成以及发散思维的形成，增强学生面对新问题的自主探究能力。使学生通过较少的练习获得较大的收获，不仅可以减轻学生负担，切实提高教学质量，还可以通过题目的拓宽，加深变化，培养学生的创新思维，使学生在探索命题演变的过程中提高发散性思维。

总之，数学是一种文化，它既是诸多门学科的基础与工具，又是一种思想方法。数学思维是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。唯有让学生在学习数学知识的同时掌握各种数学思维能力，才能为他们的自主学习和主动探究创造有利的条件。在教学过程中，学生是主体，教师要有意识地在教学中进行思维能力的培养。学生一旦掌握了各种数学思维，则可在较高层次上主动探求新知，数学素养也能得到稳步提高，从而为可持续发展打下坚实的基础。

责任编辑罗峰