精题巧问 修知炼法

王咪芳

在数学教学中，若提问得法、有效，不同程度的学生都能在课堂中跃跃欲试；尤其是复习课，在由浅入深、盘旋而上的问题串中，每个学生都能巩固知识框架，更能通过有效的数学活动，理解掌握数学思想和数学方法.本文就《分割等腰三角形》一课的教学实录评析为例，供参考.

一、教学实录

1.巧设问题，力透基础

问题1：用一条直线将一个三角形分成两个三角形，怎样分？

生1：过三角形的顶点作直线.

问题2：用一条直线将一个三角形分成两个等腰三角形，怎样分？

生2：这题是不是条件不足？

师：你来加个条件吧！

生2：（思考了一会儿）三角形的各内角是36°、72°、72°.

问题3：用一条直线将内角分别为36°、72°、72°的三角形分成两个等腰三角形.

生3：作72°角的角平分线.

问题4：用一条直线将内角分别为25°、50°、105°的三角形分成两个等腰三角形.

生4：将105°角分成25°和80°，分成两三角形的内角分别是25°、25°、130°和50°、50°、80°

问题5：顺利正确解决刚才两个问题的同学请举手，采访你一下：你怎么這么厉害，就分成功了？

生5：我觉得最小的角是不能分的；根据所给内角的度数，先分出一个等腰三角形，再去证明另一个也是等腰三角形.

问题6：你太棒了！请同学们设计一个三角形，使之能被分成两个等腰三角形.

生6：108°、36°、36°.

生7：10°、20°、150°.

生8：45°、45°、90°.

生9：任意的直角三角形.

师：（看着始终跃跃欲试的学生们）因时间关系，同学们不妨将自己的设计写下来，并请思考：任何三角形都能被分成两个等腰三角形吗？

生齐答：不是！

师：证明一个假命题的方法是什么？

生：举反例！

师：请证明“任何三角形能被分成两个等腰三角形”是一个假命题.

生10：等边三角形.

生11：一个三角形的内角为105°、5°、75°.

师：反例也可以举出无数种，到底怎样的三角形能被分成两个等腰三角形呢？

问题7：探究一个三角形能被分割成两个等腰三角形的条件.

评析：好的复习课，要兼顾全体学生；本节课前7个问题的设计，让不同程度的学生都能有所得.既梳理了图形分割的基本思路，又强化了对几何问题的本质理解，能较好地促进学生对知识方法的接受和内化，这种问题驱动式的复习方式，值得借鉴！

2.鼓励猜想，小心验证

在△ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，（α<β<γ）

过点B作直线l，交BC于点D如图.可先令∠ABD=α（先定一个），则∠BDC=2α，接下来须让△BCD也满足为等腰三角形，开始分类讨论.

生12：我觉得应该分三种情况，①当γ=2α时；②当β-α=2α时；③当β-α=γ时.

师：△ABC的特点呢？

生12：第一种情况的三角形中，一内角是另一内角的2倍；第二种情况可化为β=3α，即一内角是另一内角的3倍；第三种情况可化为β=α+γ=90°，即△ABC是直角三角形.

师：（将学生的回答板书出来）你真厉害！归纳得井井有条.让我们根据这一规律对刚才同学们所举的三角形作一下判断，顺便也做个验证.请同学试试，并简略说明怎么分割.

生13：第一个三角形符合第二种情况，把108°分成36°和72°，就得到两个等腰三角形.

师：你分析得完全正确；在一个内角是另一个内角三倍的情况下，只要把三倍角分成1∶2两部分即可.

生14：第二个三角形符合第一种情况，把150°的角分成10°和140°.

师：又解决了一个问题；据同学们的方法，当一个角是另一个角的两倍时，将第三个角分出较小的一个内角的角度.打铁趁热，想请同学们分割一下如下三角形：30°、50°、100°.

生15：这是第一种情况，可是我分不出来.

师：有没有同学分割成功了？

学生都摇头，并表示不解.

生16：我知道了，我们不能分割最小角，如果一个角是另一个内角的2倍，等待被分割的第三个角不能是最小角，所以情况一还有限制条件.我觉得应该180°-3α>α，α<45°.

师：你的发现实在是太精彩了！第一种情况属于假命题，我们通过添加条件使其成为真命题，三角形中一个内角是另一个内角（小于45°）的2倍，则此三角形能被分割成两个等腰三角形.

生17：第三个和第四个三角形都属于直角三角形，只要将直角分成其余两个锐角的度数即可.

师：说得真好！让我们来观察一下被分割后的直角三角形ABC，AD=BD，CD=BD，这一结论可用直角三角形的一个性质来描述，同学们试试？

生18：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

师：我们无意间找到了证明这一性质的方法.

评析：数学离不开对数形规律的探究，好的方法能帮助我们快速厘清思路、辨明方向.这一阶段的设计，层次分明、内涵丰富，让学生较轻松地完成了规律的探求。通过有效追问，极大地丰富了学生的思维空间；而分类思想的渗透，则有助于培养学生思维的缜密性与良好品质.

3.紧扣规律，应用提高

问题8：把一个等腰三角形分成两个等腰三角形，求原等腰三角形的顶角.

学生分小组探讨3分钟后派代表发言.

生19：我们小组直接用刚才所得的结论来解题的.设等腰三角形的顶角为x°，底角为y°，得一个基本等式：x+2y=180°.如果是直角三角形，那么就有x=90°；如果一个内角是另一个内角的2倍，则有x=2y或y=2x，分别得到x=90°，x=36°；如果一个内角是另一个内角的3倍，则有x=3y或y=3x，分别得到x=108°，x=（）°；综上所述：原等腰三角形的顶角可以是90°、36°、108°和（）°.

全班鼓掌.回答的精彩程度不言而喻.

问题9：把一个正三角形分成四个等腰三角形.（用尽可能多的方法，课后完成）

评析：复习课的基本目的，一是内化知识，巩固基础；二是综合运用，提升能力.从这个要求上看，本阶段安排的两个变式练习，有助于较好地达成教学目标.特别在基本图形的提炼、解题思路的引领、基本规律的应用上，凸显了教师对几何教学本质的认识.

二、评析

本课主题明确，线索清晰，问题设置恰当；教师启发有力，学生思维活跃，教学目标达成度较高，较好地实现了数学学习中“基础、方法和能力”的有机统一.

1.精心设计问题，让学生充分经历有效的数学活动经验

问题既是数学学习的心脏，又是思维活动的起点.通过问题来驱动教学，往往是实现夯实知识基础，揭示本质特征，提炼数学方法，提升思维水平等复习要求的有效途径.本课设计的问题1到问题6，起点较低，学生参与度很高，在上课伊始，较好地活跃了课堂气氛.当然，其主要目的是铺垫，通过对问题的基础解剖、特殊练习，使学生深刻理解问题本质，为提升能力做好必要的准备.低起点、高立意的数学活动，让每一位学生觉得原本枯燥的数学，因其能轻巧参与其中而变得亲切生动起来了，是高效课堂的必然保证！

2.立足方法引领，让学生在解题中发展数学思维

本课问题切入点明确，学生常有精彩解答，而教师并不满足于此，在学生回答后，不失时机地进行总结提炼，由点及面、归纳提升、反思延拓.让学生在不知不觉中，从会解一道题到一类题；从知其然到知其所以然；从横看成岭到侧看成峰到俯瞰成山脉.这就是复习课的立意所在！

（作者单位 浙江省宁波惠贞书院）