Matlab绘图在数学教学中的应用

杨厚平 王洪兰

摘要：数学是一门工具化的科学语言，我们用数学解决很多问题。然而在学习数学的同时，有很多空间曲面难以用手工画出它们的图形。例如：有一些多元函数，对于其图形却难以用人工画出。而MATLAB的绘图语言正是解决这种难题的最好工具，方便并且直观。

关键词：多元函数 MATLAB语言 绘图

0 引言

高职数学教学中，讲授空间曲面与曲线这个内容时，总感到“虚”，不直观、具体，利用Matlab强大的绘图功能，可方便地展示空间曲面与曲线。

1 Matlab绘图功能

Matlab绘图功能非常强大，这里只介绍几个常用函数的调用，抛砖引玉，希望对空间解析几何及多元函数部分的教学有所帮助。

1.1 产生三维数据 在MATLAB中，利用meshgrid函数产生平面区域内的网格坐标矩阵。其格式为：

x=a：d1：b；y=c：d2：d；

[X，Y]=meshgrid（x，y）；

语句执行后，矩阵X的每一行都是向量x，行数等于向量y的元素的个数，矩阵Y的每一列都是向量y，列数等于向量x的元素的个数。

1.2 绘制三维曲面的函数 surf函数和mesh函数的调用格式为：

mesh（x，y，z，c）

surf（x，y，z，c）

一般情况下，x，y，z是维数相同的矩阵。x，y是网格坐标矩阵，z是网格点上的高度矩阵，c用于指定在不同高度下的颜色范围。此外，还有带等高线的三维网格曲面函数meshc和带底座的三维网格曲面函数meshz。其用法与mesh类似，不同的是meshc还在xy平面上绘制曲面在z轴方向的等高线，meshz还在xy平面上绘制曲面的底座。

1.3 标准三维曲面 sphere函数的调用格式为：

[x，y，z]=sphere（n）

cylinder函数的调用格式为：

[x，y，z]= cylinder（R，n）

MATLAB还有一个peaks函数，称为多峰函数，常用于三维曲面的演示。

2 Matlab绘图案例

2.1 空间曲面的三维网线图与三维曲面图 案例1、函数z=10-2x2-y2的三维网线图。

用MATLAB作图的程序为

clear； x=-1：0.1：1；

y=-1：0.1：1； [X，Y]=meshgrid（x，y）；

Z=10-2*X.^2-Y.^2； mesh（X，Y，Z）；

title（'空间曲面'）

运行结果（略）。

案例2、函数z=xy的三维曲面图。

用MATLAB作图的程序为

clf

ezsurf（'x*y'，'circ'）； shading flat；

view（[-18，28]） title（'空间曲面'）

运行结果（略）。

2.2 旋转曲面 案例3、画出函数y=的图形，其中（x，y）∈[-3，3]×[-3，3]。

用MATLAB作图的程序为

clear； x=-3：0.1：3；

y=-3：0.1：3； [X，Y]=meshgrid（x，y）；

Z=sqrt（X.^2+Y.^2）； mesh（X，Y，Z）；

运行结果（略）。

案例4、曲线r=5+cosx 0≤x≤3π绕x轴旋转而形成的旋转曲面。

用MATLAB作图的程序为

x=0：pi/20：pi*3； r=5+cos（x）；

[a，b，c]=cylinder（r，30）； mesh（a，b，c）

title（'旋转曲面'）

运行结果（略）。

案例5：绘制母线方程为y=2+sinx的旋转曲面（空心）

用MATLAB作图的程序为

x=0：pi/10：2*pi；

y=2+sin（x）；

[x，y，z]=cylinder（y，30）；

mesh（x，y，z）

title（'旋转曲面'）

运行结果（略）。

2.3 柱面 案例6、绘制柱面x-1+y-2-9=0。

用MATLAB作图的程序为

[x，y，z]=cylinder（[3，3]，20）； x1=x+1；

y1=y+2； z1=z；

surf（x1，y1，z1）

运行结果（略）。

2.4 二次曲面 案例7、二次曲面的函数如下=d讨论参数a，b，c对其形状的影响。

用MATLAB作图的程序为

a=input（'a='）；b=input（'b='）；c=input（'c='）；

d=input（'d='）；N=input（'N='）；%输入参数，N为网格线数目

xgrid=linspace（-abs（a），abs（a），N）；%建立x网格坐标

ygrid=linspace（-abs（b），abs（b），N）；%建立y网格坐标

[x，y]=meshgrid（xgrid，ygrid）；%确定N×N个点的x，y网格坐标

z=c*sqrt（d-y.*y/b^2-x.*x/a^2）；u=1；%u=1，表示z要取正值

z1=real（z）；%取z的实部z1

for k=2：N-1；%以下7行程序的作用是取消z中含虚数的点

for j=2：N-1；%定义变量

if imag（z（k，j））～=0 z1（k，j）=0；

end

if all（imag（z（[k-1：k+1]，[j-1：j+1]）））～=0 z1（k，j）=NaN；

end

end

end

surf（x，y，z1），hold on %画空间曲面

if u==1 z2=-z1；surf （x，y，z2）；%u=1时加画负半面

axis（[-abs（a），abs（a），-abs（b），abs（b），-abs（c），abs（c）]）；%选择坐标轴的范围

end

xlabel（'x'），ylabel（'y'），zlabel（'z'）；%X，Y，Z轴的说明

hold off %停止

运行结果（略）。

案例8、椭球面的绘制。

用MATLAB作图的程序为

ellipsoid（1，2，3，5，4，3，20）%椭球面绘制函数

运行结果（略）。

案例9、绘制双叶双曲面。

用MATLAB作图的程序为

a=5；b=4；c=10；

[x，y]=meshgrid（-20：1：20，-20：1：20）；

z=sqrt（c*（1+x.^2/a^2+y.^2/b^2））；

mesh（z）

hold on

mesh（-z）

运行结果（略）。

2.5 二元函数的图象，二元函数的定义域 案例10、作出函数z=xy的图形

用MATLAB作图的程序同案例2。

运行结果（略）。

2.6 偏导数的几何意义 案例11、函数z=2-2x2-y2在点（0.5，0.5）处的偏导数的几何意义。

用MATLAB作图的程序为

clear； x=-1：0.1：1；

y=-1：0.1：1； [X，Y]=meshgrid（x，y）；

Z=2-2*X.^2-Y.^2； mesh（X，Y，Z）；

运行结果（略）。

图1、2分别是函数z=2-2x2-y2在点（0.5，0.5）处对x、y的偏导数。

参考文献：

[1]于万波编著.基于MATLAB的计算机图形与动画技术[M].清华大学出版社，2007-6.

[2]赵静，但琦主编.数学建成模与数学试验[M].高教出版社，2009-1.

[3]薛定宇，陈阳泉著.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].清华大学出版社，2008-3.

基金项目：湖南省高等学校教育科学研究项目（12C1081）。