原油市场收益率及其波动率序列的长期记忆性

杨波

摘要：本文通过构建ARFIMA模型、FIGARCH模型及ARFIMA-FIGARCH模型来系统检验国际原油市场收益率序列及其波动率序列的长期记忆性特征，结果表明：（1）Brent原油现货价格对数收益率时间序列当中不存在显著的长期相依性特征，但是在Brent原油现货价格对数收益率波动率时间序列当中却具有极为显著的长期相依性特征，即长期记忆性特征；（2）采用Student-t分布代替正态分布来刻画Brent原油现货价格对数收益率时间序列及其波动率时间序列的“尖峰厚尾”分布性质是极为恰当的，相比之下，Student-t分布能够更好地捕捉到Brent原油现货价格对数收益率时间序列及其波动率时间序列中存在的长期记忆性特征。

关键词：国际原油市场收益率；长期记忆性；ARFIMA模型；FIGARCH模型；ARFIMA-FIGARCH模型

一、引言

如果时间序列当中的确存在长期记忆性效应的话，将直接意味着由布朗运动及鞅过程等假设而进一步推导出的标准衍生品定价模型彻底失效。如果某一时间序列当中具有长期依赖性或者说是非周期循环性的长期记忆特征的话，那么非线性结构必然是该时间序列存在长期依赖性的累积结果。

正是因为长期记忆性特征具有极其重要的理论意义和现实意义，因此目前大量的相关研究集中于分析和检验诸多金融时间序列及经济时间序列当中是否存在长期记忆性特征。Sibbertsen通过不同视角的相关研究发现了一些支持在雅典等国家中的股票收益率时间序列当中具有显著长期记忆性特征的可靠证据。国内的学者李红权和马超群以及金秀和姚瑾分别运用修正R/S统计量分析方法及Hurst指数分析方法的实证研究，基本上都不支持在金融资产收益率时间序列当中存在显著长期记忆性特征的论断。Hosking利用分数差分噪声模型进而首次构建了ARFIMA模型，此ARFIMA模型能够很好地捕捉到金融时间序列及经济时间序列当中可能出现的长期记忆性特征。另一方面，Engle和Bollerslev在GARCH模型的基础之上，进一步提出了IGARCH模型。So等强调，与IGARCH模型相比较，FIGARCH模型具有更强的解释能力。在国内的相关研究当中，王春峰等及王春峰和张庆翠等学者分别通过构建ARFIMA模型及FIGARCH模型，对我国上证综合指数及深证综合指数指数时间序列数据进行了系统地研究。此外Teyssiere把ARFIMA模型视作FIGARCH模型中的条件均值方程，从而构建出ARFIMA-FIGARCH模型。在国内的相关研究中，张卫国等基于ARFIMA-FIGARCH模型具体检验了深圳股市收益时间序列及其波动率时间序列当中是否存在长期记忆性特征。

本文基于Student-t分布取代正态分布来具体描述国外原油市场收益率时间序列中所显著具有的“尖峰厚尾”分布性质，进而通过构建ARFIMA模型、FIGARCH模型及ARFIMA-FIGARCH模型来系统检验Brent原油现货价格对数收益率时间序列及其波动率时间序列中是否存在显著的长期记忆性特征。

二、国际原油市场收益率序列及其波动率序列的长期记忆性分析方法

Hosking等学者利用分数差分噪声模型进一步首次构建了ARFIMA模型，该ARFIMA模型能够准确拟合时间序列中具有的强持续性和长期记忆性，基本的线性ARFIMA（p， d， q）模型可以表示为

?（L）（1-L）d（rt-μ）=θ（L）ut（1）

其中，?（L）=1-?1L-…-?pLp和θ（L）=1-θ1L-…-θqLq分别代表p阶以及q阶的滞后多项式，而L代表滞后算子多项式，rt代表可以观测到的样本时间序列，μ代表均值，扰动项ut～iidN（0，σ2），分整算子（1-L）d可以进一步由二项式进行展开，如下

（1-L）d=1-dL+L2-L3+……=Lk（2）

其中，Γ代表伽玛函数。

为了识别和刻画时间序列的波动率过程中是否存在长期记忆性特征，Baillie等利用分数差分算子（1-L）d来替换IGARCH模型中的一阶差分算子（1-L），0

α（L）（1-L）du2t=ω+[1-β（L）]νt（3）

νt=u2t-σ2t

或者可以进一步表示为

（1-β（L））σ2t=ω+[1-β（L）-α（L）（1-L）d]u2t（4）

其中，α（L）=1-α1L-…-αrLr，β（L）=β1L+…+βsLs。

Teyssiere将包含时变条件异方差的ARFIMA模型视作FIGARCH模型中的条件均值方程，从而构造ARFIMA-FIGARCH模型，以期测度时间序列及其波动率时间序列中的双长期记忆性效应。本文将基于ARFIMA-FIGARCH模型测度国际原油市场收益率时间序列及其波动率时间序列的长期记忆性特征。在此，我们假设原油市场收益率时间序列为{rt}Tt=1，则ARFIMA（p，dm，q）-FIGARCH（r，dv，s）模型为

?（L）（1-L）（r-μ）=θ（L）u，u～iidN（0，σ）（5）

σ=ω+β（L）（σ-u）+[1-α（L）（1-L）]u（6）

其中，ut代表均值，ω代表常数项。

三、国际原油市场收益率序列及其波动率序列的长期记忆性实证检验

我们选取2003年1月至2013年3月期间范围内的欧洲Brent原油现货价格月度数据（Pt）来具体度量国际原油价格。进一步计算国际原油市场对数收益率时间序列rt=100[ln（Pt）-ln（Pt-1）]，从而对此收益率时间序列的动态过程进行分析，旨在识别国际原油市场收益率时间序列及其波动率时间序列中是否具有长期记忆性效应特征。数据来自于美国能源情报署网站（http：//www.eia.doe.gov）。

（一）国际原油市场收益率时间序列及其波动率时间序列的长期记忆性检验

为了分析Brent原油现货价格对数收益率的均值过程当中是否存在长期记忆性效应，我们首先基于前文所构建的ARFIMA模型进行具体测度。在此，我们需要遵循Akaike（AIC）及Schwartz（BIC）信息准则来最终确定ARFIMA模型的最优滞后阶数。

我们通过比较所构建的ARFIMA模型在不同的滞后阶数下而获得的AIC准则值及BIC准则值的具体估计结果发现，当p=0、q=1时，基于ARFIMA模型估计Brent原油现货价格对数收益率时间序列长期记忆性效应时最优。表1具体列示出了最优ARFIMA（0，d，1）模型各个参数的最终估计结果。我们发现，从参数d的具体估计值及与其相对应的显著性结果可以很容易地判断，Brent原油现货价格对数收益率时间序列均值过程当中不存在显著的长期相依性特征。此外，观察表征尾部分布特征的参数ν的具体估计值及与其相对应的显著性结果能够进一步判断，在此考虑采用Student-t分布十分适合。

我们运用FIGARCH模型具体判断Brent原油现货价格对数收益率波动率时间序列当中是否具有长期记忆性特征。在不同的滞后阶数下而获得的AIC准则值及BIC准则值的具体估计结果表明，当r=0、s=1时，基于FIGARCH模型估计Brent原油现货价格对数收益率波动率时间序列长期记忆性效应时最优。表2具体列出了最优FIGARCH（0，d，1）模型各个参数的最终估计结果，我们发现，从参数d的具体估计值及与其相对应的显著性结果可以很容易地判断，Brent原油现货价格对数收益率波动率时间序列具有当中具有极为显著的长期相依性特征。此外，观察表征尾部分布特征的参数ν的具体估计值及与其相对应的显著性结果能够进一步判断在此采用Student-t分布极为恰当。

我们通过构建ARFIMA-FIGARCH模型具体测度Brent原油现货价格对数收益率时间序列及其波动率时间序列当中是否存在双长期记忆性特征。在不同的滞后阶数下获得的AIC准则值及BIC准则值的具体估计结果表明，当p=0、q=1、r=0、s=1时，基于ARFIMA-FIGARCH模型估计Brent原油现货价格对数收益率时间序列及其波动率时间序列双长期记忆性效应时最优。表3具体列出了最优ARFIMA（0，dm，1）-FIGARCH（0，dv，1）模型各个参数的最终估计结果，我们发现，从参数dm的具体估计值、与其相对应的显著性结果，以及参数dv的具体估计值、与其相对应的显著性结果可以很容易地判断，Brent原油现货价格对数收益率时间序列当中不存在显著的长期相依性特征，但是Brent原油现货价格对数收益率波动率时间序列当中却具有极为显著的长期相依性特征。此外，观察表征尾部分布特征的参数的具体估计值及与其相对应的显著性结果能够进一步判断，在此采用Student-t分布极为恰当。

四、基本结论

基于上述研究，本文获得如下认识和判断。

一方面，基于ARFIMA模型的估计，Brent原油现货价格对数收益率时间序列均值过程当中不存在显著的长期相依性特征。基于FIGARCH模型的估计，Brent原油现货价格对数收益率波动率时间序列具有当中具有极为显著的长期相依性特征。基于ARFIMA-FIGARCH模型的估计，Brent原油现货价格对数收益率时间序列当中不存在显著的长期相依性特征，但是Brent原油现货价格对数收益率波动率时间序列当中却具有极为显著的长期相依性特征。

另一方面，J-B正态检验统计量估计结果及与J-B正态检验统计量相应的概率P值的具体结果说明，Brent原油现货价格对数收益率时间序列显著拒绝服从正态分布的原假设。然而，通过具体估计所构建的ARFIMA模型、FIGARCH模型以及ARFIMA-FIGARCH模型尾部参数值及其显著性结果表明，本文采用Student-t分布代替正态分布来刻画Brent原油现货价格对数收益率时间序列及其波动率时间序列的“尖峰厚尾”分布性质是极为恰当的。

参考文献：

[1]金秀，姚瑾.用修正重标极差法对上证指数长期记忆性的研究[J].数量统计与管理，2006（05）.

[2]李红权，马超群.股市收益率与波动性长期记忆性效应的实证研究[J].财经研究，2005（08）.

[3]王春峰，张庆翠，李刚.中国原油市场收益的长期记忆性研究[J].系统工程，2003（0l）.

[4]王春峰，张庆翠.中国股市长期记忆效应的实证研究[J].系统工程，2004（0l）.

[5]张卫国，胡彦梅，陈建忠.中国股市收益及波动的ARFIMA-FIGARCH模型研究[J].南方经济，2006（03）.

[6]Baillie. R.T.， Bollerslev. T.， Mikkelson， H.O.， Fractionally integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics， 1996（74）.

[7]Engle. R.F.， Bollerslev. T. Modeling the persistence of conditional variances[J]. Econometric Reviews， 1986（05）.

[8]Hosking， J.R.M. Fractional differencing[J]. Biometrika， 1981（68）.

[9]Mandelbrot. B. When can Price Be Arbitraged Efficiently？ A Limit to the Validity of the Random Walk and Martingale Models[J]. Review of Economics and Statistics， 1971（53）.

[10]Sibbertsen. P. Long memory in the volatilities of German stock returns[J]. Empirical Economics，2004（03）.

[11]So. M. Long-term memory in stock market volatility[J]. Applied Financial Economics， 2000（10）.

[12]Taylor. S. Modeling Financial Time Series[J]. John Wiley and Sons， 1986.

[13]Teyssiere. G. Double Long- Memory Financial Time Series[J]. Paper Presented at the ESEM， Toulouse，1997.

（作者单位：吉林大学商学院）