高中数学复习课模式的探究

刘文杰

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0139-02

一、教学内容分析

本节课是高三理科数学二轮专题复习课——函数与导数的应用。根据高考的热点问题我将《函数与导数的应用》划分为两节课。这是第一节课，主要探究两个问题：①任意性与存在性问题；②分类讨论思想的应用。 函数与导数不仅在高考中占有重要的地位，而且在生活及生产实际中有着广泛的应用，应重点研究。

二、学生学习情况分析

这节课是在学生经过了一轮复习，基本掌握了函数与导数的基础上进行研究的，是学生对函数与导数的综合应用的提高。任意性与存在性问题和分类讨论思想对学生而言，既是重点又是难点。

三、设计思想

如何突破这节课的两个重点问题，成为本节课的学习目标。我通过设计的导学案和具有一定思考价值的问题，来激发学生的求知欲望和持久的好奇心。

在教学中我努力做到以下两点：

1.在课堂活动中通过互助合作、自主探究，培养学生积极主动、勇于探索的学习兴趣。

2.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，且在对话之后重视总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握研究数学的思想方法。

四、教学目标

1.理解并掌握任意性与存在性问题的解决方法；

2.会用分类讨论思想解决问题；

3.让学生在数学活动中感受数学思想方法之美，同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

1.任意性与存在性问题的理解；

2.分类讨论思想的应用。

六、教学教具

多媒体幻灯片 PPT课件 导学案 实物投影仪

七、教学过程

（一）创设情景，提出问题

已知函数f（x）=x3+x，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）<0恒成立，则x的取值范围为____。

教师：（采用多媒体PPT课件展示问题），请同学们以小组为单位展开讨论。

学生：小组合作讨论，解决问题。

【学情预设：学生可能自行解决不了，教师用多媒体PPT课件展示详解。】

【设计意图：用一个实例提出问题，为引出任意性与存在性问题做准备；同时激发学生学习新知的兴趣。】

教师：用多媒体PPT课件展示正确解答过程。

（二）师生互动、探究新知（题型分类、深度剖析）

题型一 任意性与存在性问题的考查

【例1】已知函数f（x）=8x2+16x-k， g（x）=2x3+5x2+4x， k为实数。

（1）对任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）对存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；

（3）对任意x1，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范围；

（4）对任意x1∈[-3，3]，x2∈[-3，3]，使f（x1）≥g（x2）， 求k的取值范围。

教师：下面请同学们看导学案上的例1。

学生：分组活动，合作学习。

阅读例1，回答以下问题（在幻灯片上展示出来）：

1.两个量词“任意”与“存在”对解题有什么影响？

2.例1的四个问题在解法上有什么联系与区别？

教师：根据学生的讨论，让四个学习小组分别展示探究学习的成果。

学生：两个学习小组派代表到黑板上板书展示（1）、（2）小题成果，另两个学习小组派代表通过实物投影仪展示（3）、（4）小题成果，便于学生交流。

教师：再尝试让学生小组合作探究学习，抽象出数学模型，点评小结。

（在这里要注意生生之间、师生之间的对话。）

学生：各学习小组推选学生代表举手发言抽象数学模型，发表自己的观点并用实物投影仪展示成果。

师生：师生共同评价探究成果，形成一般数学模型。

【设计意图：通过学生小组合作探究，让学生从具体问题中抽象出数学模型。让学生在讨论中自己解决问题，使该难点的突破显得自然，达到提高课堂效率的目的，也由此激发学生的学习兴趣。】

【学情预设： ①若学生从合作探究学习中总结出规律和数学模型，教师大力表扬就行。②若学生给出的模型不具体，规律不明确，教师应利用多媒体PPT课件展示四个小题的结论进行比对，教师引导学生小组合作探究、总结出模型。】

教师：用多媒体PPT课件展示例1的一般数学模型，让学生写到导学案上。

【探究提高】（数学模型）

1.含有“任意性或存在性”的函数的最值之间的大小关系

（1）①？坌x∈[a，b]，g（x）≥m？圳g（x）min≥m.

②？坌x∈[a，b]，g（x）≤m？圳g（x）max≤m.

（2）①？埚x0∈[a，b]，g（x0）≥m？圳g（x）max≥m..

②？坌x0∈[a，b]，g（x0）≤m？圳g（x）max≤m.

2.含有“任意性或存在性”的两个函数的最值之间的大小关系

（1）①？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）max≤g（x2）min.

②？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）min≥g（x2）max.

（2）①？坌x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）max≤g（x2）max.

②？坌x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）min≥g（x2）min.

（3）①？埚x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）min≤g（x2）max.

②？埚x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）max≥g（x2）min.

（4）①？埚x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，f（x1）=g（x2）？圳f（x）的值域和g（x）的值域交集不为空集

②？坌x1∈[a，b]，？埚x2∈[c，d]，f（x1）=g（x2）？圳f（x）的值域是g（x）的值域的子集

教师：给同学们编了一个顺口溜便于记忆，多媒体PPT课件展示，要求学生朗读。

学生：（全体同学齐声朗读）

任意存在相对立，最大最小反着用；不等方向莫改变，千变万化我不怕。

【设计意图：通过对例1的引申，形成规律，抽象出数学模型，便于学生记忆，达到思维升华的目的。借助顺口溜，也掀起一个学习的高潮，激发学生的学习兴趣，使学生乐学爱学。】

题型二 分类讨论思想的考查

【例2】已知函数f（x）=x2e-ax （a>0），求函数在[1，2]上的最大值。

教师：让同学们阅读并思考例2。

师生：共同分析解题思路。解题导引：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′（x）=0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性。

【设计意图：让学生回忆起这类题的解题思路，便于解答时有明确的目标。】

教师：让学生到黑板上板书，其他同学在导学案上做。

师生：针对学生的板书，师生共同评价，利用多媒体PPT课件展示规范解题过程。

解：∵f（x）=x2e-ax （a>0），∴f′（x）=2xe-ax+x2·（-a）e-ax=e-ax（-ax2+2x）

令f′（x）=0，即e-ax（-ax2+2x）=0，得x=0或x=■

①当0<■<1，即a>2时，f（x）在[1，2]上是减函数，∴f（x）max=f（1）=e-a

②当1≤■≤2，即1≤a≤2时，f（x）在[1，■）上是增函数，在（■，2]上是减函数，

∴f（x）max=f（■）=4a-2e-2

③当■>2，即0

综上所述，当0

当1≤a≤2时，f（x）的最大值为4a-2e-2；当a>2时，f（x）的最大值为e-a。

学生：根据教师的讲解，学生纠错整理到导学案上。

【设计意图：①教师可通过学生板书，训练其对数学问题的分析和表达能力；②教师板书展示解题步骤，强调解题的规范性； ③教師可检验学生的落实情况。】

【学情预设：考虑到学生各组的水平有所不同，教师应巡视，做适当的指导。】

教师：让学生讨论曾经学过的数学思想以及分类讨论的标准，有哪些？

学生：各学习小组推选学生代表，展示讨论的成果。

师生：共同评价小组讨论的成果，然后教师用多媒体幻灯片展示成果，学生记录。

【探究提高】（成果总结）

（1）解题中要注意数学思想方法的应用

转化与化归思想、 数形结合思想、分类讨论思想等。

（2）常见分类讨论的标准

①二次项系数的正负 ②方程是否有根 ③根的大小 ④点是否在定义域内

【设计意图：学生通过例2的合作探究并结合教师的点拨归纳，让学生回忆起在函数与导数中常见的分类讨论的角度，进行归纳引申，达到思维升华的目的，从而解决第2个学习重点：分类讨论思想的应用。】

【变式训练】已知函数f（x）=■x2-ax+（a-1）ln x，a>1.讨论函数f（x）的单调性。

【设计意图：当堂检测学生对知识与分类讨论思想的掌握情况，便于落实。】

（三）课堂小结（思想方法与感悟提高）

先由学生总结，板书到黑板上，然后教师总结补充（由多媒体PPT课件展示），最后由学生填写到导学案上。

【设计意图：通过本节课的学习，让学生重新梳理、回顾所学的知识与技能、数学思想与方法，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中。】

（四）课后作业（分层训练）

A组：1.已知f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若对？坌x1∈[-1，3]，？埚x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是____。

2.已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1），

（1）当时a>1，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，试求的取值范围。

B组：1.已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx

当a =1时，求函数f（x）的单调增区间；求函数f（x）区间[1，e]上的最小值。

设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[■，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围。

【设计意图：题目要精选，不要太多。A组要求所有学生完成；B组只要求学有余力的同学完成，体现了差异发展教学，巩固本节课所学内容。】

八、教学反思

1.本节课教学是以学生为主体，教师为主导，小组合作探究学习，既为学生提供展示才华的舞台，尝试成功感；又让学生亲历知识掌握的构建过程，顺利掌握重点，突破难点。让教师可以真正做到“授之以渔”，而非“授之以鱼”。

2.在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美，学生还能自觉运用这些数学思想方法去分析、思考问题，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，提高学生的数学素养。