“命题的否定和量词的应用”分析

李志强

摘 要：在全日制普通高中新教材中增加了“简易逻辑”这一章节，本章节对培养学生的逻辑思维能力会起到很大的作用.但由于在对命题进行否定时，忽略了其中的“量词”，产生了某些认识上的偏差.下面将针对“命题的否定”作简要的分析.

关键词：命题的否定

[中图分类号]：G426 [文献标识码]：A

[文章编号]：1002-2139（2013）-9-0-01

一、三种命题形式

表示数量的词称为量词.表示整体的全部的叫做全称量词，常用的如“所有”、“一切”、“每一个”和“任意一个”等；表示整体的一部分的叫做存在量词，常用的如“有些”、“至少有一个”和“存在”等.

根据描述主项的量词，命题可分为：

全称命题，一般地，设是某集合的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对中的所有，”的命题。用

存在性命题，一般地，设是某集合的有些元素具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合中的元素，”的命题。

特别地，主项为特定的单个个体的命题，称为单称命题，其形式为“是（不是）”，其否定为“不是（是）”.

二、命题的否定

设是一个命题，“不成立”即为对命题 的否定（非）.

1、全称命题的否定

全称命题可用符号记为“，”

全称命题其否定为“存在不是（是）”，即“至少有一个不是（是）”，全称量词常可省略；

例1 写出下列命题的否定

（1）对任意的实数，都有；

（2）所有的矩形都是平行四边形；

（3）各数位数字之和能被3整除的整数，能被3整除.

（4）每一个四边形的四个顶点共圆。

（5），的个位数不等于7。

（6）三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和；

解析：每个命题都含有全称量词，所以都为全称命题，首先将全称量词“任意的”、“每一个”、“ ”改为存在性量词“存在”、“存在一个”、“ ”，然后否定性质即可。

其否定分别为：

存在实数，有

“存在一个矩形不是平行四边形”

有些各数位数字之和能被3整除的整数，不能被3整除”.

存在一个四边形的四个顶点不共圆。

，的个位数等于7.

（6）存在一个三角形，它有一个外角不等于与它不相邻的两内角之和；

评注：从命题形式看，全称命题的否定是存在性命题

2、存在性命题的否定

存在性命题可用符号记为“，”，其否定命题为“，”。

例2：写出下列命题的否定：

（1）有些负数的绝对值是负数；

（2）某些梯形是平行四边形形；

（3），。

（4）存在一个矩形，它的四边相等

解析：每个命题都含有存在性量词，所以都为存在性命题，首先将存在性量词 “有些”、“某些”、“ ”改為全称量词“所有”、“每一个”、“” ，然后否定性质即可。其否定分别为：

（1）所有负数的绝对值都不是负数；

（2）每一个梯形都不是平行四边形；

（3） ， 。

（4）任意一个矩形，它的四条边不全相等.

评注：从命题形式看，存在性命题的否定是全称命题。

3、单称命题的否定

单称命题的形式为“是（不是）”，其否定为“不是（是）”.

例3、写出下列命题的否定：

（1）碳是黑色的；

（2）方程有解；

存在一个实数：命题⑴、⑵是单称命题，故其否定分别为“碳不是黑色的”和“方程无解”

4.命题“若……则……”的否定是什么

“若则”的否定是“且非”；

“对于任意的，若则”（“对于任意的”常省略）的否定是“存在，且非”，即只要能否定符合条件的一种情况即可，而不是对符合条件的所有情况加以否定，亦即“对于任意的，若则”的否定应该是“存在使成立而不成立的情况”.

例2 写出下列命题的否定

（1）若明天下雨，则我不去呼和浩特；

（2）若方程有实根，则太阳绕着地球转；

（3）若方程有实根，则.

（4）若是奇数，则是偶数.

分析：命题（1）、（2）是“若则”形式的命题，故其否定分别为“明天下雨且我去呼和浩特”和“方程有实根且太阳不绕着地球转”；命题（3）、（4）省略了全称量词，补完整后分别为“对于任意的实数，若方程有实根，则”和“对于任意的实数，若是奇数，则是偶数”，都是“对于任意的，若则”形式的命题，故其否定分别为“存在实数，使得有实根且”和“存在实数，使得是奇数且不是偶数”.

结论：看到“若……则……”的命题要在理解语意的基础上，判断是否是省略了全称量词的情况，再加以否定。

总之，要想写出命题否定的正确形式，一定要分析清楚命题中的量词。含有一个量词的全称命题和存在性命题的否定有如下结论：存在性命题的否定是全称命题，全称命题的否定是存在性命题。