《复变函数与积分变换》教学浅谈

罗宁

摘 要：《复变函数与积分变换》作为高等院校相关专业的数学必修课，本文结合教学实践，从强调历史、以“熟”带“新”、实例教学、MATLAB应用等四个方面对教学内容、手段、方式进行了研究和探讨。

关键词：复变函数与积分变换 教学实践 改革

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）03（c）-0184-01

《复变函数与积分变换》作为高等院校力学、自动化、通信工程、测控技术与仪器等相关专业开设的数学公共课，它既是一门理论基础课同时也是解决实际问题的有力工具，在其后续专业课程学习中有着非常重要的应用。该课程的内容特点是概念抽象、理论性强，涉及其它数学学科知识多为重点、难点（如高等数学中的曲线积分、级数等），同时浅显易懂的应用实例较少，这些都对我们的教学带来很大的困难。特别，针对当下大学理工科教学中以应用性作为着力点的背景，结合笔者所在学校《复变函数与积分变换》教改经验，我们在教学中做了积极有益的探索和实验，取得了较好的效果。

1 强调历史

不能孤立的讲授《复变函数与积分变换》课程，作为一门数学学科，我们特别强调在授课中补充该课程数学史知识， 特别是学科产生背景和成熟历程，因为对于这些知识的了解可以让学生了解课程的发展思路，起到“知识再现”的作用，实现较快“入门”并建立和完善学科知识体系，同时也强化了学生对关联学科的了解，加深了数学认知，进而培养起良好的数学素养。例如，早在1545年，意大利卡尔丹解三次方程（代数问题）时，首先产生复数开平方的思想。17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题（几何问题）。19世纪以后，随着对实分析的认识深入，柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人进一步拓展了复分析，从而形成了今天的复变函数论，在这个过程中，我们看到代数、物理、数学分析等相关学科给予它的促进和交互发展。同时，相关数学家的故事也不失为好的励志典型，达到教书育人。

2 以“熟”带“新”

从知识迁移的角度看，大学三门数学工具课《高等数学》延续了中学数学对函数的研究、《概率论与数理统计》中古典概型内容中学就有涉及且主要应用排列组合知识、《线性代数》中依然把线性方程组作为主要研究对象，对于这一点，我们看到在《复变函数与积分变换》概念中不乏复数、极限、连续、级数这样的“老面孔”，重要的是复变函数的解析性也和实值函数可导（即满足柯西—黎曼方程）相关，心理学家奥苏伯尔就把学生原有的认知结构看成是实现迁移的最关键因素，因此，这些“熟”内容一方面可以增加学生学习的兴趣，同时也对他们适应新的知识体系起到穿针引线作用。

3 实例教学

强调实例教学是我们教学实践中的重要突破，我们在教学中尽可能的将课程中的相关概念与相应专业中的术语相结合，同时穿插一些应用实例作为课堂教学的补充，取得了很好的教学效果。例如，在信号处理上，模值|z|就表示信号的幅度，辅角arg（z）表示给定频率的正弦波的相位，利用傅里叶变换可将实信号表示成一系列波的周期函数的和，这些周期函数均为复变函数，现实中，我们使用手机短信、移动电话都是它的应用。

4 MATLAB应用

复变函数中涉及很多复杂数值计算问题，引入MATLAB计算，可以加深理解，培养学生应用能力。下面我们来砍两道简单应用。

（1）求复数的实部，虚部，辐角，模，共轭复数。

解：在MATLAB命令对话窗口输入下列命令：

>> A=i^9+3*i^7+i+3

>> real（A）

ans = 3

>> imag（A）

ans =-1

>> angle（A）

ans =-0.3218

>> abs（A）

ans =3.1623

>> conj（A）

ans =3.0000 + 1.0000i

（2）計算积分，积分路径C是连接由0到的线段。

解：由C的参数方程为：

≤≤

，由参数方程法得：

下面利用MATLAB来求积分：

>>syms t；

>> int（（t+i*t+i*t^2）*（1+t），0，1）

ans =5/6+17/12*i

本文依据《复变函数与积分变换》的课程特点，同时结合教学实践，在教学内容、形式、方式上做了有益探讨。希望藉此，进一步探索工科数学课程应用化教学的课堂设计。

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 复变函数与积分变换编写组.复变函数与积分变换[M].北京：北京邮电大学出版社，2011.