一类阶群的构造
2013-04-29车方驰梁美珊
车方驰 梁美珊
摘 要 利用群的扩张理论和有限群的性质，证明了Sylow p —子群为循环子群时阶的构造，其中<为奇素数。
关键词 群扩张 群构造 自同构群 Hall子群
中图分类号：G64 文献标识码：A
0 引言
在大学期间，我们学习了近世代数这一门课程，从中学习了群基本知识。其中，我们主要学习了有限群相互之间的关系与其基本定义和性质。有限群是代数学的一个重要分支，它在群论中占有非常重要的地位。在研究群的时候，我们的理想目标是对所有的群做同构分类，但是对任意群进行分类很困难。然而在有限群G中，当有限群的阶Hg（）给定后，要求它们有多少个互异的同构类，是有限群理论中的一个经典问题。我国代数学家张远达教授解决了阶群的构造，得出结论：阶群（为奇素数，且≠3，7），在≡3（mod4）时，有12型；在≡5（mod8）时，有14型；在≡1（mod8）时，有15型。文献[7，9]证明了Sylow p-子群为循环群时的阶群和阶群的构造，文献[8]证明了Sylow p-子群为循环群时的2·11·阶群的构造。但是对于任一个阶群的构造给出一个十分简单而有效的解决方法还是很困难的，本文对一般的奇素数，（<）证明了Sylow p-子群为循环群时阶为的群之构造。
1 预备知识
定理1
a）I$I$，I$I$ H！ I$I$。
b）I$I$，I$ H！ I$。
定理2 （拉格朗日定理）：设是一个有限群，是的子群，则
∣∣=∣∣[：]（即Hg（）=Hg（）[：]）
定理3 设 = {}为循环群，如果Hg（） = ，则恰有（）个生成元，且是的生成元的充分必要条件是（，） = 1（这里，（）是欧拉函数）。
定理4
a）若 ≡ （mod）， ≡ （mod），则 + ≡ + （mod）。
b）若 + ≡ （mod），则 ≡ （mod）。
c）若 ≡ （mod），>0，则 ≡ （mod）。
d）若 ≡ （mod）， ≡ （mod），则 ≡ （mod），特别的，若 ≡ （mod），则 ≡ （mod）。
定理5（Sylow定理） （第一Sylow定理）若是有限群，是素数。设||Hg（），即|Hg（），但HsHg（）。则中必存在阶子群，叫做的Sylow p-子群。
（第二Sylow定理） 的任意两个Sylow p-子群皆在中共轭。
（第三Sylow定理） 中Sylow p-子群的个数是Hg（）的因子，并且 ≡ 1（mod）。
定理6（霍尔特（Holder）定理） 阶群包含一个阶循环正规子群且其商群有是阶循环群的充要条件是 = {，}而其定义关系 = 1， = ， = ，式中整数，满足 ≡1（mod）与 ≡ 0（mod）。
定义1（子群的定义） 设是群，是的一个非空子集。如果关于的运算也构成群，则称为的一个子群，记作<。
定义2（循环群的定义） 若群之每元可写为中某元的幂，就叫为循环群，记为 = {}，并叫为的生成元（或叫由元生成）。
定义3（群的同构定义） 设与是两个群，是到的一一对应，使（） = （）·（），HO，
则称为群到的一个同构映射，简称同构。并称群与同构，记作：H敗？
定义4（特征子群的定义） 是的子群，如果H眨我獾氖粲诘淖酝谷海虺莆奶卣髯尤海亲鱻I$I$。
定义5 称群为群被群的扩张，如果是的正规子群，并且/H敗？
定义6 设是群的子群，如果存在的子群使 = ，并且∩ = 1，则称为在中的补群。
定义7 设是群的子群，如果（Hg（），[：]）=1，则称是的Hall子群。
2 引理
引理1 设是的正规子群（记作I$），（Hg（），Hg[/]）=1，则是的特征子群（记作I$I$）。
证：设Hg（）= ，Hg（） = ，则Hg（） = 。因为（Hg（）， Hg[/]）=1，所以有（）=1，对HO，有，属于之自同构群（记作（） ），使 = ，因Hg（） = Hg（），故Hg（）∣，所以有（Hg（），）= 1。有以为生成元的循环群{}，因为（Hg） = = Hg（）所以有也是循环群{}的一个生成元，即有{} = {}。又 = H！ H！ {} = {}H？H！ H！ H铡9蕗I$I$。
引理2 设是的正规Hall子群，则在中有补群。
证：参见文献[2]112页。
引理3 设，是同余方程 ≡ （mod）（，为奇素数且<）在的模单位群（记作，且）中的两个根 = {}， = = 1， = ， = {}， = = 1， = ，则H？H# {} = {}。
证：（ H！ ）设是到上的一个同构映射，因中阶元为（（，） = 1），故可设 = ， = 。则一方面 = = = ，另一方面 = = = = ，故 = H！ ≡ （mod） H！ ≡ （mod） H！ {}H調}。同理对称的可证得{}H調}，故 {} = {}。
（ G？）若{} = {}，由于中满足 ≡ 1（mod）的解是中的1，2，，2阶元，
①若Hg（） = Hg（） = 1，则显然有 = ；
②若Hg（） = Hg（） = 2， ≡ （mod）时，则显然有 = ；
③若Hg（） = Hg（） = ， ≡ （mod）时，显然有 = ；
④若Hg（） = Hg（） = 2， ≡ （mod）时，显然有 = ；
故设 ≠ （mod）， ≡ （mod）（1<<）时，
若是奇数，定义：→，→，若是偶数，定义：→，→，易证均为同构映射，故有H敗？
引理4 阶为2的群不是单群。
证：设Hg（） = 2，是的一个子群，且Hg（） = 。对任意的，若，则 = = 。若，则与是的两个不同的陪集。因为[：] = = 2，说明在中的陪集的个数为2，所以 = ∪，同理有 = ∪。因为∩ = HT，而H？= ∪，所以H眨碛衻H铡K？= ，因此I$。显然不是的单位元群，且≠，所以阶为2的群不是单群。
3 主要结论
设群的阶Hg（） = 2，<为奇素数，由引理4可知不是单群且有一个阶为的正规子群，即I$且Hg（） = 。设 = {}是的一个Sylow p-子群，由Sylow定理知的Sylow p-子群个数 = 1，。因<，故≠， = 1。所以I$，又（Hg（）， Hg（/）） = （， ） = 1，由引理1知I$I$，又I$，故I$，即只有唯一一个Sylow p-子群，又（Hg（）， Hg（）） = （， 2） = 1，故是的正规Hall子群，由引理2知，在中有补群，即存在的子群满足 = ，∩ = 1，显然Hg（） = 2，由文献[1]之284页知道有二型，故下面分两种情况讨论。
3.1 当 = {}， = 1时的构造
此时，为循环群 = {}被阶循环群的扩张。取中阶为的一元，于是 = + = {，}，据定义关系 = = 1， = ，式中 = 1（mod）（霍尔特定理），由数论知识， = 1（mod）在中有个解：，…，，其中 ≡ （mod）（1≤≤）， = （2，（）），（） = ，为模的一个原根。由引理3可得
当 = 1时，则有（2，（）） = 1，又因为，是奇素数，所以有（2， ） = 1，即有为奇数，即为偶数，与题设是奇素数相矛盾，所以得出≠1。
当 = 时，则有（2， （）） = ，又因为<为奇素数，所以有（2， ） = ，即有不被2整除，所以有为奇数，即为偶数，与题设是奇素数相矛盾，所以得出≠。
3.1.1 当 = 2时， ≡ 1， 1（mod），故此时有2型：
） = {，}， = = 1， = ，即 H？。
） = {，}， = = 1， = 。
3.1.2 当 = 2时， ≡ （mod）， =1，2，…，2，的阶只可能是1，2，，2，此时有4型：），）和
） = {，}， = = 1， = 。
） = {，}， = = 1， = 。
3.2 当 = {，}， = = 1， = 时群的构造
此时，取中阶之一元，则 = + = {，，}定义关系是 = = 1， = ，以及 = 1， = ， = ，式中，（），因 = = 1，故 = = 1。
若≠1，由 = H！ = = （） = （） = = = H！ H！ H！ 1 H！ Hg（） = 2，又 = 1，故2/，与为奇素数矛盾，所以 = 1。
当 = 2，2时 = 或， = 1，故此时有2型：
） = {，，}， = = = 1， = ， = ， = 。
） = {，，}， = = = 1， = ， = ， = 。
综上所得：
定理 设 = （2，（）），则Sylow p-子群均是循环群的2（<为奇素数）阶群的构造：
当 = 2时，有4型：） ） ） ）；
当 = 2时，有6型：） ） ） ） ） ）。
4 结束语
本文利用循环群的扩张和构造理论，构造出阶群，得到两类共十型的同构分类。在写这篇文章的过程中，我进一步巩固了群、子群、正规子群、循环群和同余式等基本知识，同时也认识了很多以前没有见过的数学符号，并自行学习了单群、自同构群、特征子群等概念，而且还大致了解了群的扩张理论和群的构造方法。文中我所做的工作有利用前人的思路和前人所做的论文进行整合证明出结论，并对一些小地方进行了细化。
参考文献
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