高考中的狄利克雷函数

江杰

摘 要：狄利克雷函数在高等数学中是一个研究导数存在性，连续性的重要函数。在近几年的高考中，由于创新题型的增多，狄利克雷函数时常出现在各地模拟考试中。本文主要对狄利克雷函数的性质进行探究，重点在于展现狄利克雷函数与高中所学知识的巧妙融。

关键词：狄利克雷函数 性质 最小正周期 创新题型

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）03（c）-0083-01

我们知道在近几年的高考中，越来越重视对函数的理解。而狄利克雷函数正是完全建立在主观意义上的函数，所以值得我们细细研究。

狄利克雷函数具体形式如下：

从直观上讲，狄利克雷函数可以看做两条极不平滑的直线。

狄利克雷函数具有以下几个性质：（1）解析式不可写。（2）图像不可画。（3）没有有关的实际背景作为参考。从以上特点看出，狄利克雷函数完全是“人工”的函数，对整个数学的逻辑严密性，起到至关重要的作用。

这个函数有如下基本性质：

（1）周期性。

任何的非零有理数都是这个函数的周期。也就是说，此函数没有最小正周期。

（2）奇偶性。

是偶函数。

（3）单调性。

给出下列三个命题：

①函数是偶函数；

②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；

③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形。

其中，所有真命题的序号是—————————。

这道题属于创新题型，第一问十分简单，结果是1，我们看第二问，偶函数十分明显，关键是能不能构成等腰三角形，通过分析，根据函数的性质，同一点的函数值不能有两个，我们知道此等腰三角形如果存在，一定底边在x轴上，且底边长为2，即底边上的两个顶点距离为2且都为有理数。因为两个有理数的中点坐标还是有理数，所以中点的函数值仍为0，不能构成等腰直角三角形，排除②。

对于③，利用②类似的方法，发现存在这样的菱形，答案为①③。

1 与圆锥曲线选择填空题相结合

解析：

分析以上图像，当时，是椭圆上的点，当时，图像是上的点。直线与椭圆的交点横坐标是无理数，所以光线直接穿过椭圆壁，光线继续往上走，因为与的交点横坐标仍为无理数，光线直接穿过函数图像，无法反弹回到A点。

2 与数列相结合

3 与复合函数相结合

解析：由于，所以函数与x轴有两个交点，且。所以一定有两个相距1的根，即有两个有理根或者无理根。当有两个有理根时，做多有4个根，所以答案选D。

从以上例题中，我们看出，狄利克雷的变形函数可以作外衣，实现对高考主干知识的考察。随着创新题型的逐渐发展，狄利克雷变形函数很有可能更多的出现在模拟考试，甚至是高考当中。

参考文献

[1] 邹立国.高考试题中常见抽象函数问题分类解析[J].甘肃教育，2011（5）：85.

[2] 李邵波，覃罗江.高考中函数问题新交汇的探讨[J].科教文汇（上旬刊），2009（1）：151-152.