试谈复数的几何意义

陈锋

摘 要：很多学生对于复数的理解仅仅停留在它的代数形式，即z=a+bi（a，b∈R）；没有完成从代数到几何的转变。很多复数问题用几何意义来解决更加形象直观。

关键词：z= 复数的几何意义 直角坐标系中的点 复数的模

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）03（c）-0077-01

复数作为高中文科数学湘教版选修1-2的最后一章，由于其它知识对复数没有特殊的需要，不象其他知识点之间的联系那么紧密，应该说是独立成一块的，所以这块知识对学生来说是很容易遗忘。我们教材中引进复数及其某些概念也是先介绍代数形式，所以学生认识复数最初从代数形式开始，运用代数形式理解概念、进行运算是他们习惯性的方法。

很多学生认为复数问题只要设z=a+bi（a，b∈R），好象都好做，事实上将复数问题实数化是解决复数问题的一种重要思想。但是他们对复数的认知并没有随着复数的定义z=a+bi（a，b∈R）完成从一维到二维的转变。数轴上的点与实数一一对应，类比我们可以联想到复数可以用复平面上的点来表示，实现复数从“数”到“形”的转化。任何一个复数z=a+bi（a，b∈R）都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的。因此，以每个复数z=a+bi（a，b∈R）的实部a和虚部b组成坐标（a，b）在复平面上可以画出唯一的一个点P（a，b），即每个复数在复平面上有且只有一个点坐标与其相对应。

从很多学生解决问题的方法来看，他们中的大多数人都首先运用模的代数形式定义z=进行运算，用距离表示模，用几何意义来描述模是对模的概念的压缩，例如，既能运用代数形式又能运用几何意义解题的学生，他们将模的代数形式和几何意义组合过程，并且作对比和概括，随着理解的深入，一些学生能将模看作一个整体对象|z|，而不需要详细用代数形式展开或用几何意义表示，就能对其进行运算，这是对复数模的概念理解的具体化阶段，倘若老师坚持让学生去进行运算，那么这种运算就成了无对象的运算，变为缺乏意义的符合游戏，学生除了死记硬背外，无法进行有意义的操作运算，从而就出现了||=|| +||的错误。所以，教师在复数教学中要多加关注学生的思维表现，了解和分析他们对复数的认知水平。

很多学生不能深入利用模的几何意义解决问题，只是机械地记住模好象是表示一个圆，只了解复数符号的表面含义。究其原因，学生对复数的每一种形式的建构有个过程，只有经过一定程度的操作，才能从一种形式的认识过渡到另一种形式，而且这种操作活动会随着学生的差异而经历的时间不一样。

1 从实数的绝对值到复数模的过渡对很多学生是个挑战

初学者经常将复数的模当作实数的绝对值，他们属于复数认知的初级阶段，他们只知道复数的模和实数的绝对值的符号都是|…|，“因为|Z-2|=1，所以Z-2=±1…”“若z>0，则|Z+3|=Z+3=1，若z<0，则|Z+3|=3-z=1，…”类似以上的错误不少，教师要善于从错例出发，指导学生分别从代数形式和几何意义上比较两者的异同，使学生理解复数的模在代数形式上就是绝对值|a|的推广和延伸；在几何意义上，模是复数在复平面内对应的点到原点的距离，绝对值是实数在数轴上对应的点到原点的距离，从绝对值到模是从一维到二维的关系，使得学生看出两者是特殊和一般的关系。

2 学生认知复数的模从代数式子开始，怎么实现代数形式和几何意义的融合

很多老师在讲授复数的模时，首先从它的代数表示入手，也就是|z|=，引导学生从运算性上进行理解，学生通过大量练习而加深了对代数表示的印象。然后进行模的几何意义的教学，而忽略了把模的代数形式z=和复数的几何意义相结合，使学生能更深一步地了解模的意义而复数模的概念是在复平面上表示该复数的点到坐标原点的距离，z=其实也表示两点之间的距离，即点（a，b）到点（0，0）的距离，而其中a与b也就是复数z的实部和虚部，使学生能更深一步地了解模的意义。学生对模的理解困难往往是把几何意义与它的代数表达式给割裂开来，缺乏对两者必然关系的认识，因此，在问到有些学生|z|=1是什么意思时，很多学生只想起它的代数形式，即模长等于1，而对|z|在几何上表示以原点为圆心，半径为1的圆上的点这个概念很模糊。

3 复数的几何意义对解题的帮助

利用复数的几何意义解题的好处是如果能够真的理解几何意义的本质，那么解题会变得很简单。从几何意义上理解，复数的模的意义为在复平面上表示z的点到原点的距离，类比向量的模，可进一步引申：||的意义为在复平面上表示z的点到表示之间的距离。如：||=1的意义为在复平面上表示z的点到点（0，1）之间的距离为1，所以表示z的点的轨迹是以（0，1）为圆心，以1为半径的圆。

（1）有的类型题目用代数形式很难解决，而用几何意义却很容易可以解出。

例：若zC，且||=1，求||的最大值。

分析：||=||=1，即在复平面上表示Z的点到点（2，-1）的距离为1，从另一个角度说，在复平面上表示z的点的轨迹在以（2，-1）为圆心，以1为半径的圆上.所以||的最大值可以看成点（0，1）到圆上的点的距离的最大值，即连接点（0，1）与圆心（2，-1），并延长与圆相交于两点，其中一点是最近点，一点就是最远点。点（0，1）到圆心（2，-1）的距离为 =2，最小值为2-1，最大值为2+1。

（2）复数与其在复平面上的对应点之间的紧密关系对于解决关于1的n次方根的问题有很大的帮助。在实数范围内，方程 只有一个根x=1，但是在复数范围内则不然，将方程变形为，左边因式分解得：，分别求出x-1=0和的复数根，凑到一起就是的复数根。画出以坐标原点为圆心的单位，这3个复数根在复平面上的对应点分别为（1，0），（，（都落在单位圆上，且这3个点与圆心连接刚好把圆3等分，把3个点连接起来，构成一个等边三角形。类似在复数范围应该有四个根，并且四个根在复平面上所对应的点都在以圆点为圆心的单位圆上，依次把这四个点连接起来，构成一个正方形……

有些学生虽然有时也知道自己的方法复杂，但他们“不愿”去反思，而是坚持自己已经运用的方法，似乎有点“不厌其烦”，这种思维习惯，使得他们缺少进行方法的比较，从而在其认知结构中不能将几何形式的表象和代数形式的表象建立有效的联系，虽然有时也会模仿例题和老师的解题方法在坐标系中描出复数对应的点和图形，但他们纯粹是为了几何表示而画图，对几何图形作为表象的直观性体会不深，所以他们能够应用几何方法的人数不多。因此，要培养学生把代数形式和几何形式相结合的解题思想。