一类与调和级数部分和有关的收敛级数

【摘要】 本文用“满1减1”方法对调和级数分段求和，得到一个有趣的级数，证明了这个级数收敛，并给出Euler常数 的一个类似的定义式。

【关键词】 调和级数 收敛级数 Euler常数

我们熟知，调和级数Σ ∞ k=1 1 k 是发散的，也就是说，它的部分和Hn= Σ n K=1 1 k 在n→8时趋向于无穷大.最近，作者发现，用一种“满1减1”的方法研究调和级数的分段和，可以得到一个有趣的级数。本文证明这个级数收敛，并给出Euler常数γ=0.5772156649…一个类似的定义式。

将调和级数Σ ∞ k=1 1 k 的各项依次分段求和，并且每一段“满1减1”，也就是刚满1就减1，我们得到

1-1=0= A ，

1 2 + 1 3 + 1 4 = A2 ，

1 5 + 1 6 = A3，

1 13 + 1 6 +…+ 1 34 -1= A4，

我们将上述各个等式加起来，得到级数

Σ1=Σ Ai=（1-1）+（ 1 2 + 1 3 + 1 4 -1）+（ 1 5 + 1 6 -1）+… …（1）

现在研究级数Σ1的通项A （i≥2），假设

Ai= 1 ai + 1 ai+1 +…+ 1 ai+1-1 -1 …………………… （2）

根据通项A 的产生过程我们知道，在（2）式右边的各个分母满足如下的不等式

0<1-（ ）< 1 ai + 1 ai+1 +…+ 1 ai+1-2 < 1 ai+1-1 ……………… （3）

我们可以证明级数Σ1是收敛的.

事实上，对于任意正整数n， 有

1 2 = 2n 2n+1 <1………… （4）

从而利用（3）式、（4）式可知，在（2）式右边出现的各个分母ai，ai+1…，ai+1-1，里面至少有一个等于2的正整数次幂，即形如2r的数（r∈N+ ），所以级数Σ1的每一项A1（i≥2）满足如下的不等式

0< Ai < 1 ai+1-1 ≤ 1 2i …………（5）

显然，级数 Σ1从第二项起的每一项的分母里等于的2的整数次幂的数各不相同。亦即，观察级数 Σ1的各项，利用（2）式、（3）式、（4）式和（5）式我们依次得到0≤ 1-1≤ 0

0<Σ 2≤ k≤ 4 1 k -1< 1 4 ≤ 1 22 ，

0< Σ 5≤ k≤ 12 1 k -1< 1 12 < 1 23 ，

0<Σ 13≤ k≤ 34 1 k -1 < 1 34 < 1 24 ，

……

将上述不等式每一边加起来，得到级数Σ1 的部分和严格递增，并且有一个上界 1 2 ，也就是有

0<Σ1< 1 22 + 1 23 + …= 1 2

所以级数Σ1收敛.作者通过编程计算出

Σ1=0.1293421…

当然，我们可以用“满a减a”的方法进行类似的研究，容易得到一类收敛的级数Σa，这里a=3，3，…

猜想 当a=1，2，… 时，级数Σa都是无理数，也都是超越数.

对于Euler常数γ=0.5772156649…，我们也可得到类似于级数Σ1求和公式（1）的定义式 . 在文献[1]中作者证明了Euler常数γ满足如下公式（e表示自然对数的底 ，符号[x]表示不超过x的最大整数）

γ= lim k→∞ （1+ 1 2 + 1 3 +… 1 [ek]-1 -k）

=1+ 1 2 + 1 3 +… 1 [ek]-1 -k+ θk [ek]

其中k∈N+，0<θk<2.

也就是说，调和级数Σ ∞ k=1 1 k 的部分和Hek=k+γ+ θk [ek] =k+0.5772156649…（当k→∞时），0<θk<2. 所以H[ek]的整数部分等于k ， 小数部分近似等于 （当k→∞时）.

利用微积分知识容易证明，对每个k=1，2，…都有

1 [ek] + 1 [ek]+1 + 1 [ek]+2 +… 1 [ek+1]-1 -2>0

于是可以得到γ如下的定义式

γ= Σ ∞ K=1 （ 1 [ek] + 1 [ek]+1 + 1 [ek]+2 +… 1 [ek+1]-1 -1）

= Σ ∞ K=1 （ 1 [ek] + 1 [ek]+1 + 1 [ek]+2 +… 1 [ek+2]-1 -2）

= （ 1 2 + 1 3 +…+ 1 6 -1）+（ 1 7 + 1 8 +…+ 1 19 -1）+…

=（ 1 2 + 1 3 +…+ 1 19 -2）+（ 1 20 + 1 8 +…+ 1 148 -2） +…

这个公式与级数Σ1的求和公式（1）类似.

猜想 Euler常数γ是无理数，也是超越数.

参考文献

[1] 尹必华.一个收敛于Euler常数的有理数列.现代教育信息.北京：世界科学教育出版社.2012（6）：139-140.