数学（一）

A卷（共100分）

一、1.C2.C3.C4.D5.D6.A7.C8.B9.B10.C

二、11.-5；12.180，160；13.3；14.245.

三、15.解：（1）原式=1+32-2×22-8=22-7.

（2）解不等式x-53+x≥2x-3，得x≤2.

解不等式3（x-1）+2<5x+3，得x<-2.

∴原不等式组的解集为-2

16.解：原式=3x+4（x-1）（x+1）-2（x+1）（x-1）（x+1）÷m+2（m-1）2

=x+2（x-1）（x+1）·（x-1）2x+2=x-1x+1.

17.解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，有∠CAE=45°，∠DAE=30°.

∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形，∴DE=AB=123.

在Rt△ADE中，AE=DEtan∠DAE=123tan30°=12333=1233.

在Rt△ACE中，由∠CAE=45°，得CE=AE=1233.

∴CD=CE+DE=123×（3+1）≈335.8.

答：乙楼CD的高度约为335.8m.

18.解：（1）如图所示：

（2）截至2010年轨道交通运营总里程为336千米，占2011年规划方案中总里程的33.6%，所以预计2020年北京轨道交通运营总里程将为336÷33.6%=1000（千米）.

（3）从2010到2015年预计新增运营里程为100×36.7%=367（千米），2011年轨道交通运营里程为372-336=36（千米），所以从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程为（367-36）÷4=82.75（千米）.

19.解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，∵点B的相坐标为（n，-2），∴BD=2.

在Rt△BDO中，tan∠BOC=BDOD，

∴tan∠BOC=2OD=25，∴OD=5.

又∵点B在第三象限，∴点B的坐标为（-5，-2）.

将B（-5，-2）代入y=kx中，得-2=k-5，∴k=10.

∴该反比例函数的解析式为y=10x.

将点A（2，m）代入y=10x中，得m=102=5，

∴A（2，5）.将A（2，5）和B（-5，-2）分别代入y=ax+b中，

得2a+b=5，

-5a+b=-2.解得a=1，

b=3.

∴该一次函数的解析式为y=x+3.

（2）在y=x+3中，令y=0，即x+3=0，∴x=-3.

∴点C的坐标为（-3，0）.∴OC=3.

又∵在x轴上有一点E（O点除外），

S△BEC=S△BCO∴CE=OC=3.

∴OE=6，∴E（-6，0）

20.解：（1）如图（1），∴△ABC是等边三角形，线段AD为其角平分线，∴∠CAD=∠DAB=30°，CD=BD=12AC.∴ACAB=1=CDDB.

∵B1C1AC，∴△ADC是直角三角形，且∠C1AD=30°，∴C1D=12AD，即C1DAD=12.

同理，得△AB1C1是直角三角形，且∠AB1C1=30°，∴AC1=12AB1即AC1AB1=12.

∵∠DAB1=∠AB1D=30°，∴△AB1D是等腰三角形，∴AD=DB1，∵C1DAD=C1DDB1=12.

∴AC1AB1=12=C1DDB1.故这两个等式都成立.

（2）一定成立，证明如下：如图（2），△ABC为任意三角形，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.∵∠E=∠CAD=∠BAD.∴BE=AB.

又∵△EBD∽△ACD，∴ACBE=CDDB.又∵BE=AB，∴ACAB=CDDB.

（3）如图（3），连结ED.∵AD为△ABC的角平分线，∴CDDB=ACAB=840=35.

而AEEB=5403-5=35，∴CDDB=AEEB.∴DE∥AC.∴△DEF∽△ACF.∴DFFA=EFFC=AEAC=58.

B卷（共50分）

一、21.1；22.80°；23.14；24.m2-1m；25.21515.

二26.解：（1）设商家一次购买该种产品x件时，销售单价恰好为2 600元.依题意得3 000-10（x-10）=2 600，解得x=50.

答：商家一次购买该种产品50件时，销售单价恰好为2 600元.

（2）当0≤x≤10时，y=（3 000-2 400）x=600x；

当10

当x>50时，y=（2 600-2 400）x=200x.

∴y=600x（0≤x≤10，且x为整数）.

-10x2+700x（10

200x（x>50，且x为整数）

（3）因为要满足一次购买的数量越多，所获的利润越大，所以y应随x的增大而增大，而y=600x及y=200x均是y随x的增大而增大；

二次函数y=-10x2+700x=-10（x-35）2+12 250，当10

∴当x=35时，最低销售单价为3 000-10×（35-10）=2 750元.

27.（1）证明：连结OB，

∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°.

∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.

又∵PO=PO，

∴△PAO≌△PBO.

∴∠PAO=∠PBO=90°，∴直线PA为⊙O的切线.

（2）解：EF2=40D·OP.

证明：∵∠PAO=∠PDA=90°，

∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.

∴∠OAD=∠OPA.

∴△OAD∽△OPA.

∴ODOA=OAOP，即OA2=OD·OP.

又∵EF=2OA，∴DF2=4OD·OP.

（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=12BC=3.

设AD=x，∵tan∠F=12.∴FD=2x，OA=OF=2x-3.

在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x-3）2=x2+32.

解得x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.

∴AD=4，OA=2x-3=5.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.

而AC=2OA=10，BC=6，

∴cos∠ACB=610=35.

∵OA2=OD·OP，

∴25=3（PE+5）.∴PE=103.

28.解：（1）∵点M（2，2）在抛物线y=-1m（x+2）（x-m）（m>0）上，∴2=-1m（2+2）（2-m），解得m=4.令-14（x+2）∴（x-4）=0，解得x1=-2，x2=4.∴B（-2，0），C（4，0）.

在抛物线y=-14（x+2）（x-4）中，令x=0，得y=2.

∴E（0，2）.∴S△BCE=12BC·OE=6.

（2）当m=4时，得抛物线y=-14（x+2）（x-4）的对称轴为直线x=1.

又∵B、C关于直线x=1对称，连结EC交直线x=1于点H，则点H像BH+EH最小.

设直线EC的解析式为y=kx+b.

将E（0，2）、C（4，0）代入y=kx+b中，得

b=2，4k+b=0.解得k=-12，b=2.∴y=-12x+2.

将x=1代入y=-12x+2中，得y=32，∴（1，32）.

（3）分两种情况讨论：

①如图，当△BFC∽△BCF时，则∠EBC=∠CBF=45°，BEBC=BCBF，

∴BC2=BE·BF.

作FT⊥x轴，垂足为T，则BT=TF，

∴可令F（x，-x-2）（x>0）.又点F在抛物线y=-1m（x+2）（x-m）（m>0）上，

∴-x-2=-1m（x+2）（x-m）.∵x+2>0（∵x>0），∴x=2m，F（2m，-2m-2）.

此时BF=（2m+2）2+（-2m-2）2=22（m+1），BE=22，BC=m+2.

又BC2=BE·BF，∴（m+2）2=22·22（m+1）.

∴m=2±22.

又m>0，∴m=22+2.

②如图，当△BEC∽△FCB时，BCBF=ECBC，∠ECB=∠CBF，过点F作FT⊥x轴于点T，则∠EOC=∠FTB，∴△BTF∽△COE，TFBT=OEOC=2m.

∴可令F（x，-2m（x+2））（x>0）.

又F抛物线y=-1m（x+2）（x-m）（m>0）上，∴-2m（x+2）=-1m（x+2）（x-m）.

∵x+2>0（∵x>0），

x=m+2.∴F（m+2，-2（m+4）m）.

由题意知，EC=m2+4，BC=m+2.又BC2=EC·BF，

∴（m+2）2=m2+4·（m+2+2）2+4（m+4）2m2.

整理得：0=10，显然不成立.

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=22+2.