一类非线性自治系统的稳定性

王 磊

1 预备知识

为了叙述的方便,首先给出几个定义和引理.

定义1[1]设V(x)在Rn中原点的某邻域U内有定义,V(x)在U中连续可微,且满足V(0)=0,若对所有0≠x∈U,均有V(x)>0(V(x)<0),则称V(x)为正定函数(负定函数);若对所有x∈U,均有V(x)≥0(V(x)≤0),则称V(x)为半正定(半负定)函数.

定义2[1]设n维自治系统

(1)

的解为x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T,则称

为V(x)沿系统(1)轨线的全导数.

运用李雅普诺直接方法研究平凡解的稳定性的核心问题是李雅普诺夫(下简称为李氏)函数的构造,对于n阶常系数线性系统的李氏函数公式可采用数学归纳法导出,当n=3时,文[1]和[2]采用“类比法”构造了多种李氏函数,并研究了三阶非线性系统平凡解的稳定性问题;文[3]和[4]运用“类比法”给出了几个四阶非线性系统的平凡解稳定的充分条件. 本文利用这一方法构造一类4阶非线性系统的李氏函数,得到该系统的稳定性条件.

2 主要结果

考虑四阶非线性系统

(2)

其中,a>0,b>0为常数,f(x)具有连续的一阶导函数且f(0)=0.作变换

则系统(2)可化为下列等价系统

(3)

系统(3)对应的常系数线性系统为

(4)

由四阶巴尔巴欣公式[4],取系统(4)的一个李氏函数为

V=abdx2+(ab2-ad)y2+2a2dxy+2abyu+

2adxz+2a2byz+2a2zu+a3z2+au2

V(x,y,z,u)=a(bf(y)+1)x2+ab2y2-

2axzf(y)+2a2byz+2a2zu+a3z2+au2(5)则V(x,y,z,u)沿着系统(3)的全导数为

2ab2yz-2af(y)yz+2a2xf(y)z+

2abzu+2aby(-au-bz-f(y)x)+

2ayzf(y)+2axuf(y)+2axzf′(y)z+

2a2bz2+2a2byu+2a2u2+2a2z(-au-bz-f(y)x)+2a3zu+2au(-au-bz-f(y)x)

化简得

因此,可得下面的结论

定理对于系统(3)满足下列条件:

1)a>0,b>0,f(0)=0,f(y)<0(y≠0);

2)zf′(y)<0(z≠0),xf′(y)<0(x≠0).

则当xy≤0时,系统(3)的零解局部渐进稳定.

证明将系统(3)的李氏函数(5)式写为

V(x,y,z,u)=a(u+az+by)2+ax2+

又由定理条件,显然有

3 结束语

李雅普诺夫函数的合理构造是解决平凡解稳定性的关键和难点,虽然随着系统阶数的增加,李氏函数的结构越来越复杂,类比也越来越困难,主要条件有时难以满足,但是 “类比法”是切实可行的方法.关于三阶和四阶的情况已有很多好的结果,但运用 “类比法”研究五阶及以上阶数的平凡解稳定性的结果还相对较少,这是下一步可以考虑的工作.

[参 考 文 献]

[1] 马知恩,周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京:科学出版社,2001.

[2] 吴 檀,邹长安,车克健.一类三阶非线性系统的全局稳定性[J].应用数学学报,1997,20(3).

[3] 黄明谦.一类4阶非线性系统李雅普诺夫函数的构造[J].湖南师范大学自然科学学报,1989(1):295-300.

[4] 梁在中.关于一类四阶非线性系统李雅普诺夫函数构造的研究[J].应用数学和力学,1995,16(2).

[5] 廖晓昕.稳定性的数学理论及应用 [M].武汉:华中师范大学出版社,1988.