不均匀多导体传输线的瞬态分析

冀维林 刘仲亚 李 莉

(1.国家无线电监测中心，北京 100037；2.北京邮电大学电子工程学院，北京 100876)

引 言

在高速大规模集成电路和多芯片组件中，多导体传输线常被用作信号连接线.通常，在直流或低频情况下，信号连接线可以看作是简单的金属导体，仅仅起着电连通的作用.但是，随着半导体材料科学和电子信息技术的发展，信号脉冲的上升时间和宽度已达到皮秒量级，对应的频谱已进入微波、毫米波波段，高频分量的波长和传输线的尺寸已处于同一量级；由于色散、终端失配及线间的分布耦合，还将引起信号的畸变和线间耦合，影响到高速电路系统的总体性能指标.因此，必须对这些现象加以分析和研究，而多导体传输线时域响应分析便可较为准确地分析信号连接线上各点电压和电流[1-4].同时，在实际电子设备和系统中，由于各种传输线系统结构的复杂性，通信线与电力线存在许多非均匀的，或者是端接非线性负载结构的传输线.因此，必须对广义传输线进行分析.

随着计算机技术的发展，数值方法在研究和分析电磁场问题中发挥了越来越重要的作用.例如频域内的有限元法、矩量法和单矩法等；时域内的时域有限差分法、传输线矩阵法和时域积分法等.其中，时域有限差分法(FDTD)是由有限差分法发展而来的数值分析方法，直接由麦克斯韦方程对电磁场进行计算机模拟.近年来，时域有限差分法在生物电磁剂量学、电磁热疗系统的计算机模拟、天线辐射特性的计算问题以及设备和系统间的电磁兼容特性分析和预测等方面得到广泛的应用和迅速的发展[5-6].论文主要应用FDTD法对不均匀多导体传输线的瞬态响应、波形特点以及终端失配情况进行仿真分析.文中给出了FDTD算法处理该问题的迭代公式，通过建模、仿真和分析，验证了FDTD算法处理不均匀多导体传输线瞬态响应问题的有效性和正确性.

1 不均多导体传输线方程及差分形式

在不考虑外界电磁场作用的情况下，多导体传输线上的电流和电压满足如下电报方程[7-9]

(1)

式中：V和I分别为多导体传输线上的电压和电流矩阵；R和G分别为多导体传输线上的电阻和电导矩阵；L和C分别为多导体传输线上的电感和电容矩阵.对于无耗多导体传输线(R=0，G=0)，应用FDTD法对多导体传输线方程进行差分，并结合传输线始端和终端边界条件可得到传输线上各点的迭代公式：

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：L和C根据不均匀传输线特性分段为Lk和Ck； Δz、Δt分别为空间和时间步长；k、n分别表示空间和时间的划分数.通常，为了保证算法的稳定，必须满足Δt≤Δz/v.当取等号时，Δt定义为最佳时间步长，其中v为电磁波传播的最大模式速度，在多导体传输线情况下，会有多个模式速度存在，可通过计算LC的特征值求得.

2 模型的建立与仿真分析

图1 不均匀多导体传输线模型

2.1 情况一：线性负载

如图1所示的不均匀多导体传输线模型(铜导带宽度为50×(1+k(z)) μm，厚度为5 μm).其中，多导体传输线长l=0.5 m，始端和终端负载分别为RS1=50 Ω、RS2=50 Ω、RL1=50 Ω、RL2=50 Ω.信号源为上升/下降沿为0.5 ns，脉冲宽度为5 ns的方波.非均匀传输线的分布参数为：

式中：l(z)=387/(1+K(z))；lm(z)=K(z)L(z)；c(z)=104.13/(1-K(z))；cm(z)=-K(z)C(z)；K(z)=0.25(1+0.6sin(πz+π/4)).

应用FDTD法处理电磁学问题时，由于在计算机的计算空间中电磁波只能跳跃式地传播，不可能连续传播，因此，对于不同波长的电磁波，在特定的网格划分情况下，计算机中电磁波传播比起实际物理空间中的电磁波会出现误差，包括速度和方向.针对数值色散问题，可以通过减小空间和时间步长，减小数值色散的影响.一般当空间步长满足如下条件时，差分近似带来的数值色散将非常小[5]

Δz≤λmin/12，

(6)

(a)

(b)图2 不均匀多导体传输线各端口瞬态电压响应(光速)

(a)

(b)图3 不均匀多导体传输线端口瞬态电压响应(最大模式速度)

图4 不均匀多导体传输线特性阻抗曲线

选取两倍的脉冲信号转折频率(1 GHz)作为信号最高频率求得最小波长，代入式(6)，近似得到空间步长为0.01 m，可得到仿真网格数为50.通常，仿真选取的电磁波传播速度只要大于电磁波在传输线上的最大模式速度，仿真就可以顺利进行.首先比较当仿真时选取的电磁波的传播速度不同时对仿真结果的影响.电磁波的传播速度分别选取光速c和最大模式速度cm.运用MATLAB软件编程，传输线两端瞬态电压响应如图2和3所示.从仿真结果可以看出，在图2中，信号和串扰波形都具有比较明显的抖动纹波，而图3则很平滑.可见，采用最大模式速度作为求解相关参数(Δt)并进行仿真，可以得到最优的结果.同时，信号经过3.285 ns后到达传输线的终端，这说明不均匀传输线对信号的传播速度没有影响.然而，与均匀多导体传输线各端口的电压响应不同，由于传输线上各个点的特征阻抗存在一定的差异，所以信号在传播的过程中会有反射现象，需要经过较长的时间才能趋于稳定.为了更好地说明不均匀多导体传输线各个端口电压响应波形，我们画出了传输线上各点的特征阻抗值和(Cm/C)+(Lm/Lw)值的曲线，如图4和5所示.从图中看出，传输线特性阻抗值在传输线长度方向上先减小后变大，变化速率也是先变小后变大.信号经过传输线时，由于传输线匹配特性遵循由差变好再变差的规律，所以信号线始端信号波形呈现由大变小再变大的特点，可见信号线始端信号与特性阻抗的分布有关；另外，受扰线近端串扰与(Cm/C)+(Lm/Lw)的值成正比，所以近端串扰具有先增大后减小的变化趋势.

图5 (Cm/C)+(Lm/Lw)曲线

图6 端接非线性负载不均匀多导体传输线模型

2.2 情况二：非线性负载

端接非线性负载的不均匀多导体传输线的模型如图6所示(作为参考地面的导体未画出).在公式(2)、(3)、(4)、(5)的基础上，只需将N+1处的电压迭代公式修改为式(7)，便可得到端接非线性负载的多导体传输线差分公式为.

(a)

(b)图7 端接非线性负载多导体传输线各端口瞬态电压响应

(a)

(b)图8 各端口瞬态电压响应(RS2=RL2=0 Ω)

(7)

非线性负载的伏安特性关系为：

式中:IA=10 nA；VT=25 mV.

多导体传输线始端和终端负载分别为RS1=50 Ω、RS2=50 Ω、RL1=50 Ω、RL2=50 Ω，信号源为上升/下降沿为0.5 ns，脉冲宽度为5 ns的方波.运用MATLAB软件编程，仿真结果如图7.可以看出，非线性负载的接入，使得多导体传输线终端匹配条件变差，信号的反射增大，信号需要经过很长的时间才能趋于稳定.同时，信号线输出端信号较之未接非线性负载时增大0.16 V.

当受扰线两端阻抗RS2=RL2=0 Ω的情况，仿真结果如图8所示.未接非线性负载时，受扰线可以看作电位为零的参考地面，受扰线上是不会有串扰信号的.接入非线性负载后，受扰线始端全反射，信号为零，信号线的始端电压可以逐渐趋于零.终端处，无论是信号线还是受扰线，信号呈现振荡的状态， 脉冲每经过两个传输线传播时间反相一次.因此，为了防止出现信号在传输线上振荡的现象，在实际中应尽量避免受扰线仅有非线性负载连接的情况.

3 结 论

随着传输线系统结构的不断复杂，信号频率的不断提高，终端失配、色散及线间的分布耦合引起的信号畸变和线间耦合问题越来越严重.针对此问题，论文提出了通过建立不均匀多导体传输线FDTD法差分模型，运用MATLAB软件对不均匀多导体传输线瞬态响应进行仿真的算法.在此基础上进一步从理论上对非均匀多导体传输线各端口瞬态响应的波形特点进行了研究.另外，对端接非线性负载的不均匀多导体传输线端口出现失配的情况进行了仿真，为实际工程设计和电磁兼容预测提供了理论参考.仿真结果验证了算法的正确性，在今后的工作中，可以结合工程实际，不断拓展FDTD算法处理电磁兼容问题的范围.

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