初中数学“有理数与无理数”教学案例

林晓明

《数学课程标准（2011年版）》把无理数的概念提前到七年级上学期，在学生刚接触过正数和负数的概念之后，和有理数的概念放在一节课呈现.实际上本节课的有理数和无理数的概念对学生来讲，都是重点.不过，在定义了无理数的概念之后，教科书引导学生在数轴上表示无理数，列举了无理数的绝对值和相反数，使得有关数的知识比较完整的呈现，为后续教学提供了方便，也更加合理.

一、教学过程

（一）问题情境

问题1：分数可以化成小数吗？请学生举例说明.

学生1：12=0.5；（师：有限小数）

学生2：13=0.3333…（或0.3·）（师：无限循环小数）

设计意图：通过这个简单的问题，把学生带到带有“分数形式”的世界中去，再由学生自己举例，学生能举出一种是能化成有限小数的分数，还有一种能化成循环小数形式的分数.反之，学生也就知道了有限小数和循环小数也就能转化为分数.也降低了要学生能明白循环小数能化成分数这个知识点.

问题2：我们知道了有限小数和循环小数能化成分数，是不是所有的小数也都能化成分数吗？

学生3：不是，小数还包括无限不循环小数.

师：能不能请学生举例说明？学生4：如π.

设计意图：通过这个简单的问题，让学生明白小数中还有无限不循环小数不能化成分数，同时这个问题为有理数的定义打下了伏笔.

问题3：我们还学过了哪些数？它们也都能化成分数吗？

学生5：整数，不能.

师：那么，请学生举几个整数的例子. 学生6：1，2，3

师：如果我1表示成11，2表示成21，3表示成31.可以吗？

全班齐答：可以.

师：其实我们可以把整数化成分母为1的分数.这样的话，整数和分数就有一个共同的特征——都能化成“mn（m，n为整数，且n≠0）”这种形式的数.我们书上就把这种分数形式的数统称为有理数，而将无限不循环小数（如π）叫做为无理数.

（二）讲授新课

师：我们身边的数中除了π外，还有别的无限不循环小数吗？

1.活动：请学生拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀，将小正方形沿着图中红色对角线剪开，设法重新拼成一个大正方形，大家动手试一试.

师：你们知道这个大正方形的面积是多少吗？为什么？

学生7：它的面积为2，因为它是由两个面积为1的小正方形拼成的.

师：你知道了这个图形的面积，对这个正方形，你还想知道它的一些什么信息呢？

学生8：边长.

师：你知道这个边长多少吗？这个大正方形的边长是不是有理数？

设计意图：通过这个操作活动引导学生探索，这样既能使学生确认这个无理数的存在，又能更能深刻的了解我们身边的数，可能还有许多的无理数，更深的了解无理数的概念.

2.探索活动：为方便起见，我们设这个大长方形的边长为a，则a2=2.

师：a是整数吗？

学生9：因为12=1，22=4，a是1和2之间的数，1

师：a是分数吗？

两个一样的分数相乘结果应该还是个分数，不可能是整数.所以a不是分数.师：a是怎样的数？我们可以尝试从小数的角度.

1.5×1.5=2.25； 1.41×1.41=1.9881；

1.4×1.4=1.96； 1.42×1.42=2.0164；

1.4

探索中，运用逼近的方法，得到1.4

按照这种方法探索下去，a的值是1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990…

师：你们发现这个数和π有什么共同点吗？

学生10：无限、不循环.

设计意图：在拼图探索过程中，通过实践、操作、探索、思考、归纳，展现了数学研究的方式，也体会了“无限”的过程，同时渗透了数学中的一种重要思想——逼近思想.让学生初步感受这种数学思想.

二、案例设计反思

本教学案例首先根据《新课程标准》，从学生已有的知识结构出发，由3个问题把本节课要研究的主要问题自然而然的带出来，从而也就轻松的揭示了本节课的课题.接着由拼图活动通过学生思考、交流，先是体会到现实生活中确实存在他们并不了解的数，让学生感受无理数的客观存在.课堂比较活跃，学生听的都比较投入、认真.在探索活动中，也让以学生为主体，教师为主导的教学观念和教学思想，始终引导学生运用不断地试验、操作、探索，教学过程中，渗透了“无限”和“逼近”的数学思想，引导着，直至概念的出现，渐渐走向真理.最后通过两个辨析题，呈现了以前学生最易错的两个问题，希望能在学生以后的作业过程中，不再出现类似的错误.

[南京育英第二外国语学校 （210044）]