用虚功平衡原理分析非线性自治电路

韦忠海 黄炳华

摘要：用基波平衡原理求得注入网络的基波电流Is1。它的流向代表网络在脱离激励源以后，为维持自激振荡关于实功与虚功的盈亏情况，其是判断网络稳定性和振荡性状的有力依据。当实功与虚功同时取得平衡时，如果能够求得基波解的振荡频率ωS和幅值Um，则网络必然存在有对应的周期解。以含阻尼项的Duffing方程为例，说明虚功平衡和振荡频率的密切关系。

关键词：非线性；稳定性；虚功功率；杜芬方程；虚功平衡；振荡频率

中图分类号：TN722 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2013）05-0135-03

1 非线性方程的第一形式

设非线性电路模型如图1，电路中各参数和非线性元件的伏安特性如式（1），式中是等效基波电导，是压控非线性电感。无阻尼方程式（2）和含阻尼方程式（3）是Duffing方程去掉强迫项后的自治形式，本文统称为第一形式，它们都只有一个平衡点。式（2）基波解频率和幅值的关系为式（4）。

2 非线性方程的第二形式

若改变非线性电感特性为，则可建立第二形式的杜芬方程为式（5），两种形式Duffing方程的主要区别在于，式（5）中前面的负号，使方程的性质发生根本的变化：称之为第二形式，由式（5）用基波平衡原理可以解出式（6）。和是基波解的频率和幅值。

由式（7）用基波平衡原理解出式（8）。当时，无法找到一对正值解满足式（8）。这个结论用Matlab验证是正确的，不论初激值的大小，相点最后落入两个稳定焦点。当时，是不稳焦点，三个平衡点排列成结构，其中表示不稳焦点，表示鞍点。可以找到一对正值解满足式（8），不管初激值的大小如何，相图总显示有极限环。当时，相图的性状和初激值的关系比较复杂，当初激值进入吸引区时，网络没有振荡；图2和图3表示在避开吸引区初激值下的平面相图和极限环。图2表示由内趋向极限环的相图；图3表示由外趋向极限环的相图。可以发现只用为原点的一个座标体系，关于不同刺激值引起相图性状的变化，无法找出其中的规律性。

如果改成以为座标体系的原点，式（7）改成式（9）则可分析出，在小刺激值时是稳定的，在大刺激值时会产生周期振荡有极限环。新的座标体系，可以确定稳定平衡点的吸引区，其范围和的大小有关。图4表示当时吸引区的范围。由多个平衡点建立多个不同的座标体系，分析相图的性状应该得出同一个结论。但多个座标体系可以分析相图全局结构的变化规律。

3 用虚功平衡分析非线性保守系统·非线性方程的第三形式

例如取时，为要使取负值，可由式（11-1）解出式（11-2），则的范围应为或。当可解出式（11-3），程序Duffing还显示，使取正值的两族闭轨线的大体范围是，小闭轨线对应的基波解幅值大约为，大闭轨线的大体范围是，在这两个范围内，式（10）的括号项构成一个恢复力。可以找到一定的正实数值使，其意义是在恢复力范围内，有一个振荡频率能满足虚功平衡故振荡存在。

用Matlab仿真分析证明，当初激值在左右变化时，相图显示存在两组大小不同的闭轨线，时出现小闭轨线；当时出现大闭轨线，如图5和6。这两组闭轨线都不是极限环，图5-1的初激值，图5-2的初激值，当时，相图出现大闭轨线如图6。两者幅值范围差别很大，相点是从跳至，以上结果用Math程序分析和用Matlab仿真验证获得一致的结论。

在满足，的条件下，只要有合适的正实数解存在，则电路存在有周期解，式（10）从Math程序Duffing以及Matlab相图5和6可以看出，闭轨线的幅值不会出现在的区间，在这个范围内，若要有一个频率使取正值，则从式（11）可见恒有，说明在此范围内虚功无法平衡，式（10）的括号项构成一个排斥力，振荡不存在。由此可见，力学的保守系统在于机械能守恒，在电路系统表现为实功平衡恒成立，这类非线性保守系统，虚功平衡成为确定振荡性状的唯一依据。只有在虚功平衡的范围内或，才有可能建立振荡。

参考文献

[1] 黄炳华.各类自激振荡的基波分析法[J].固体电子学研究和进展，2005，25（1）：102-107.

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[5] 黄炳华.用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌[J].通信学报，2008，29（1）：65-70.

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（责任编辑：文 森）