反Hermite矩阵方程

袁学帅,李 园

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043)

反Hermite矩阵方程

袁学帅,李 园

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043)

在有Hermite矩阵方程解的存在性条件的基础上讨论了反Hermite矩阵方程解的存在性条件，并给出了相应的解的表达式.

计算数学；Hermite矩阵方程；反Hermite矩阵方程；解的存在性

Hermite矩阵是复数域中一类特殊的矩阵, 它在控制论、经济管理、电子技术等领域都有广泛的应用，关于它的研究已经取得了丰富的结果.杨昌兰等[1-2]讨论了数域上以下矩阵方程的求解：

XAY=A

(1)

其中A是非退化矩阵.得出了如下的结果：

引理1 设A为非退化矩阵，P为任意矩阵，且使A+P和A-P均为非退化矩阵，则:

X=(A+P)(A-P)-1

(2)

Y=(A+P)-1(A-P)

(3)

是方程(1)的解.

引理2 设A为非退化矩阵.X，Y为方程(1)的解，且X+E和X-E为非退化矩阵，则存在矩阵P，使A+P和A-P均为非退化矩阵，且式(2)，(3)成立，这里E为单位矩阵.

随着应用的需要和研究的深入，近年来已经有许多文献对Hermite矩阵的进一步推广作了研究.2006年，罗兵等[3]研究了一类次Hermite矩阵方程的求解.2009年，尹景本等[4]研究了一类广义Hermite矩阵方程的求解.2012年，郑建青[5]研究了一类拟次Hermite矩阵方程的求解.2010年，严益水等[6]研究了二次Hermite矩阵方程的解.2012年，袁晖坪等[7]研究了二次广义Hermite矩阵方程的解.本文对Hermite矩阵的研究作进一步的推广，讨论了反Hermite矩阵方程解的存在性条件，并给出了相应解的表达式.

1 主要结果

下面讨论复数域上矩阵方程:

X*AX=A

(4)

的一般解，这里A为反(斜)Hermite矩阵.X*表示X的共轭转置.

熟知，复矩阵A称为Hermite的，如果A*=A；A称为反(斜)Hermite的，如果A*=-A.

主要结果如下：

定理1 设A是非退化复斜Hermite矩阵，P为Hermite矩阵，使A+P,A-P均为非退化，则:

K=(A+P)-1(A-P)

(5)

为方程(4)的解.

证明K*=(A-P)*((A+P)-1)*=(A*-P*)(A*+P*)-1=(-A-P)(-A+P)-1=(A+P)(A-P)-1.

定理2A为非退化复斜Hermite矩阵，K为方程(4)的非退化解，且E+K和E+K-1均为非退化矩阵，则K形如式(5)，其中P为一个Hermite矩阵.

证明由于K*AK=A,令:

P=A(E-K)(E+K)-1

(6)

下面证明P为Hermite矩阵.P*=((E+K)-1)*(E-K)*A*=(E+K*)-1(E-K*)A*.

由于K*AK=A，得K*=AK-1A-1，故：

因为(K+E)(K+E)-1(K-E)=K-E,故：(K+E)-1(K+E)(K-E)=K-E.

又由于(K+E)(K-E)=(K-E)(K+E)，因而得到：(K+E)-1(K-E)(K+E)=K-E，(K+E)-1(K-E)=(K-E)(K+E)-1.

故(K+E)-1和K-E可换，可推出：P*=A(E-K)(E+K)-1.

故P为Hermite矩阵.

故A+P为非退化矩阵，由式(6)，P(E+K)=A(E-K)，因而：P+PK=A-AK，(A+P)K=A-P.所以K=(A+P)-1(A-P)，K形如式(5)，且P为Hermite矩阵，证毕.

以下考虑方程:

XAX=A

(7)

其中X为Hermite矩阵解.

定理3 设A为非退化复斜Hermite矩阵，P为任意Hermite矩阵，且使A+P和A-P均为非退化，满足AP=-PA，则：K=(A+P)-1(A-P)为方程(7)的Hermite矩阵解.

证明由定理1，K=(A+P)-1(A-P)为X*AX=A的解，下面证明K*=K,即K为方程(7)的Hermite解.

事实上，由AP+PA=0,可得:A2+AP+PA+P2=A2-AP-PA+P2，(A+P)2=(A-P)2，即：

(A+P)-1(A-P)=(A+P)(A-P)-1

(8)

故而由定理1的证明，由式(8)得：K*=(A+P)(A-P)-1=K.证毕.

作为定理3的逆向定理，有：

定理4 设A为非退化复斜Hermite矩阵，K为方程(7)的非退化Hermite解，且E+K和E-K-1均为非退化矩阵，且K形如：K=(A+P)-1(A-P).且适合AP+PA=0.

证明由于K*=K,故K*AK=A,K为(4)的解，由定理2，故K形如:K=(A+P)-1(A-P).

其中P为Hermite矩阵.由K*=K，由定理2的证明:(A+P)-1(A-P)=(A+P)(A-P)-1.

故而(A+P)2=(A-P)2，即：A2+AP+PA+P2=A2-AP-PA+P2，即AP+PA=0.

[1] 杨昌兰.一个二次矩阵方程的解[J].工科数学,1997,13(1):129-130.

[2] 杨昌兰,王龙波.Hermite矩阵方程[J].数学研究与评论,2004,24(3):500-502.

[3] 罗兵,宋乾坤.次Hermite矩阵方程[J].大学数学,2006,22(5):160-162.

[4] 尹景本,曹建兵.广义Hermite矩阵方程[J].河南科技学院学报,2009,37(1):70-72.

[5] 郑建青.拟次Hermite矩阵方程的解[J].大学数学,2012,28(5):90-93.

[6] 严益水,杨忠鹏,陈清华.关于二次Hermite矩阵方程的解的注记[J].福建师范大学学报,2010,26(1):1-5.

[7] 袁晖坪.二次广义Hermite矩阵方程的解[J].吉林大学学报,2012,50(2):281-283.

[8] 袁晖坪,李庆玉.二次广义Hermite矩阵方程[J].山东大学学报,2012,47(2):74-77.

InverseHermiteMatrixEquation

YUAN Xue-shuai,LI Yuan

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

Yang discussed the existence conditions of the solution of Hermite matrix equation. This paper discusses the conditions for the existence of solutions of the inverse Hermite matrix equation based on Yang. and gives the expression of the solution of inverse matrix equation.

computational mathematics；Hermite matrix equation；inverse Hermite matrix equation；existence of solution

2013-06-12.

内蒙古自然科学基金项目(2011MS0114).

袁学帅(1986-)，男，硕士，主要从事计算数学的研究.

O156.1

A

1008-8423(2013)03-0285-02