一类求解广义特征值问题的瀑布型多重网格法

白建军，胡 晔 （吕梁学院数学系，山西 吕梁033000）

笔者研究满足Lipschiz条件的常系数连续电磁场Maxwell方程组［1］，即求向量场u满足：

式中，Ω∈R2为连通多项式域，∂Ω表示Ω∈R2的边界；n表示∂Ω的外法向单位向量。通过有限元离散，最终将式 （1）中特征值的计算转化为求解线性方程组的问题，对于大型矩阵计算问题，笔者以并行保域逆迭代法为光滑子，结合新外推方法提出一类求解广义特征值的方法。

1 有限元离散

为了离散式 （1），先将区域Ω作三角剖分。根据变分原理［2－5］，由有限元逼近［4］将问题转化为：

定义：

则式 （2）和式 （3）可导成A X＝λB X形式。其中，A和B都是n×n实矩阵。

2 光滑过程并行保域逆迭代算法 （PDS）

周树荃［6－7］等提出并行保域逆迭代算法有效避免了漏根、迭代过程的不收敛等缺点，提高了解的精度。

算法1（对称不定矩阵LDLT分解在标准存储格式下的并行计算） 由于矩阵A∈Rn×n具有对称性，利用该算法求单位三角矩阵L＝（lij）和对角方阵D，使A＝LDLT成立。当i＞j时，lij将元素Aij覆盖；当i＝j时，di将元素Aij覆盖。

步5 k←k＋1，如果k＞n，停止；如果k≤n，执行步2。

步4 利用Rayleigh商处理近似的特征值，使其尽量精确化

步8 控制迭代，设kk为任意大于零的整数 （一般设置为6）如果k≤kk，执行步2；若不满足k≤kk，执行以下步骤。

3 瀑布型多重网格法 （NCGMGE）

文献 ［8］只能对u进行更新，而不能更新λ。而以特征值共轭梯度法［9］为基础的特征值瀑布型多重网格方法 （NCGMGE）［10］，在循环迭代过程中，能使 （λ，u）中的λ和u同时得到更新。具体算法如下：

end

4 新的瀑布型多重网格算法 （WPECMG）

为了提高运算的收敛速度，文献 ［11］提出并改进了外推方法，笔者结合新外推方法，以PDS法为光滑子给出求解特征值问题一类新的瀑布型多重网格算法 （WPECMG）。具体算法如下：的精确解

end

根据文献 ［12］可以得到，在有限元进行离散以后，对于模小的特征值可以得到逼近程度较好的解。

5 数值试验

考虑模型如 （1）所示，仅考虑二维平面下的方程，求解区域为Ω＝［0，a］×［0，b］，方程组的真解为：

表1 PDS、NCGMGE与WPECMG的数值结果

表2 PDS、NCGMGE与WPECMG的时间结果

［1］Arbenz P，Geus R．Solving Maxwell eigenvalue problems for accelerating cavities ［J］．Phys Review ST Accel Beams，2001 （4）：20－23．

［2］王生楠 ．有限元素法中的变分原理基础 ［M］．西安：西北工业大学出版社，2005．

［3］林金木 ．有限单元法变分原理与应用 ［M］．长沙：湖南大学出版社，2003．

［4］Hiptmair R．Canonical construction of finite element［J］．Math Comput，1999，68 （5）：1325－1346．

［5］Watanabe K，Igarashi H．Robustness of nested multigrid method for edge－based finite elem－Ent analysis ［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2009，45 （3）：1088－1091．

［6］周树荃，曾岚 ．求解广义特征值问题的并行保域行列式查找法 ［J］．南京航空航天大学学报，1995，27（2）：148－154．

［7］周树荃，戴华 ．求解对称带状矩阵广义特征值问题的保域行列式查找法 ［J］．南京航空学院学报，1985，17（4）：23－30．

［8］Chen C M，Hu H T，Xie Z Q，et al．Analsis of extrapolation cascadic multigrid method ［J］．Science in china Series A：mathematics，2008，51 （8）：1349－1360．

［9］刘寒兵 ．一种有效的广义特征值分析方法 ［J］．固体力学学报，2003，24（4）：419－426．

［10］匡前义，李郴良，李明 ．一种求解广义特征值的瀑布型多重网格方法 ［J］．云南民族大学学报，2009，18（3）：202－205．

［11］Chen C M，Xie Z Q，Li C L，et al．Study of A New Extrapolation Multigrid Method［J］．湖南师范大学自然科学学报，2007，30（2）：1－5．

［12］Weiss B，Biro O．Edge element multigrid solution of nonlinear magnetostatic problems ［J］．Comple，2001，20 （2）：357－365．