基于最小二乘法计算三分康托集的盒维数

吴艳秋，张天凤，常艳雪，关立健

（吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000）

盒维数的应用是很广泛的，正是因为它的计算相对容易些.盒维数的计算关键是求在直径最大为δ时能够覆盖该集的集的最少个数.大致总结共有五种方法：以半径为δ的能够覆盖该集的最少闭球数；和该集相交的δ-网立方体的个数；覆盖该集的最大直径δ的集的最少个数；覆盖该集的边长为δ的最少立方体数；球心在该集上，半径为δ的相互不相交的球的最多个数等.最小二乘法要具有合理的数据，建立关系求出函数，更可以求出未知的数，并能使求出的这些数与实际数之间的差值的平方和最小.在盒维数的计算过程中，用不同方法都能快速得到结果.在此基础上引入最小二乘法去求解三分康托集的盒维数分析误差.

1 盒维数分析

对三分康托集的盒维数的计算方法利用最小二乘法计算前提是构建数据，以及一些相关内容.

1.1 数据的选取

三分康托集是不断的去掉三分之一，得到的是由2k个长度都为3-k的区间的交集组成的.用不同的尺寸盒子去覆盖三分康托集，这样建立这样的关系：H1/3(A)=2,H1/32(A)=22,H1/33.选取这样的点n.即(ln3j,ln2j),j=0,1,2,…,n.这样选取的坐标可以直观的看到函数的关系.

1.2 盒维数

最容易构造与理解的三分康托集显示了分形的特点，三分康托集是不断的去掉中间三分之一得到的，是无穷集.一方面取直径δ∈[3-k,3-k+1)，覆盖三分康托集的直径和不大于区间的个数，上盒维数不大于ln2/ln3；另一方面δ∈(3-k-1,3-k]，任意取长度为直径的区间最多相较于三分康托集中的3-k为长度的一个区间，不小于区间数.下盒维数不小于ln2/ln3，则得到的三分康托集的盒维数是ln2/ln3.

2 最小二乘法

运用最小二乘法计算三分康托集的盒维数的数据构造出来了，设为(xi,yi),i=1,2,…,n，得到y=kx+b这样的一条直线，进而知道的最小值.首先，对k,b分别求偏导，S'k(k,b)=0，S'b(k,b)=0.

用软件解出k,b的值，直线也可知，斜率k就是所求的盒维数.

3 实例分析

4 结束语

用的最小二乘法是三分康托集被用长度不同的盒子覆盖基础上，与直径指数建立坐标，求其函数关系.所求的斜率就是三分康托集的盒维数.通过与传统定义方法求三分康托集的盒维数对比，发现不但有误差而且计算量大，必须用软件计算.

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