一类具有次凸位势的二阶系统的周期解

王少敏，杨存基

（大理学院数学与计算机学院，云南大理 671003）

1 引言和主要结果

考虑二阶系统

（A）F（t，x）对于每个 x∈RN关于 t可测，对于a.e.t∈［0，T］关于 x 是连续可微的，存在 a∈C（R+，R+），b∈L1（0，T；R+）使得

对于 x∈RN和 a.e.t∈［0，T］成立。

其等价于如下范数

相应泛函

当 q（t）≡0，t∈［0，T］时，在假设（A）和一些适当的条件下，通过使用最小作用原理和临界点理论中的极大极小方法，人们已经获得了很多存在性结果〔2-12〕。

本文的主要结果如下：

定理1设F（t，x）＝F1（t，x）+F2（t，x）满足假设（A）以及F1（t，x），F2（t，x）满足以下条件：

（i）F1（t，·）是（λ，μ）－次凸的且存在δ∈［0，2），β、γ∈L1（0，T；R）

（ii）存在 f∈L2（0，T；R）且k∈L1（0，T；R）使得

2 定理的证明

我们知道存在一个常数c0>0，使得

如果函数G：RN→R满足

G（λ（x+y））≤μ（G（x）+G（y）），∀x，y∈RN

称函数G为（λ，μ）－次凸的。

证明：由F1（t，·）的（λ，μ）－次凸性及S o b o l e v不等式，有

由（2）式，（3）式，有

注：定理的条件是全新的；所以，文中所得结果是全新的。

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