螺旋锥齿轮球面渐开线齿面形成原理及推论

丁 撼， 阿达依·谢尔亚孜旦

（新疆大学机械工程学院，新疆 乌鲁木齐 830046）

螺旋锥齿轮球面渐开线齿面形成原理及推论

丁 撼， 阿达依·谢尔亚孜旦

（新疆大学机械工程学院，新疆 乌鲁木齐 830046）

从螺旋锥齿轮的精确齿面形状出发，详细地论述了球面渐开线齿面的基本组成。基于球面渐开线理论在螺旋锥齿轮方面已取得的研究成果，分析并总结其特点与不足，提出了螺旋锥齿轮的球面渐开线齿面形成原理。并对球面渐开线齿面形成过程中的关键环节产形线、工作齿廓和球面渐开线齿面的基本方程进行了推导和论述，为其设计及加工提出了一些方案，以便为螺旋锥齿轮的研究提供理论基础和思路。

螺旋锥齿轮；球面渐开线齿面；形成原理；产形线；工作齿廓

一直以来，在有关螺旋锥齿轮的设计与制造的研究中，都是以啮合原理为基础理论[1-3]，而基于球面渐开线这一早已成熟的理论的应用，却很少提及。究其原因主要有：

1） 螺旋锥齿轮本身就难以加工，而基于球面渐开线这种球面曲线齿形就更加难以加工。

2） 先进近似曲线来代替的齿轮制造技术已相当成熟，尤其是以Gleason为代表的数字化制造技术，已经弥补了这种近似曲线齿廓所带来的原理性误差。

3） 这种基于啮合原理的有关理论的研究和应用相较球面渐开线理论更加简单，易于掌握，同时易于加工，尤其是高精度高质量的加工。

但是，球面渐开线理论在设计方面尤其是齿轮的模型设计方面有着自己独特的优势，能够为快速精准的齿面模型的建立创造更加有利的条件。对此，近些年来，也有一部分学者对球面渐开线理论在螺旋锥齿轮领域中的应用方面展开了研究。其中，吉林大学的研究团队最为突出：以彭福华[4]、杨兆军[5]、张学成[6]、呼咏等[7-8]教授及其所带领的研究生们，就球面渐开线理论充分应用于螺旋锥齿轮的研究中，提出了“产型线切齿法”这一新的加工方法，出版了专著获得发明专利并发表了大量的研究论文。但是其球面渐开线原理没有作详细的推论和推导，而且其原理的论述中还存在一些不足之处。

本文以这些研究为基础，充分吸收其优势和特点，发现并弥补其不足，提出了球面渐开线齿面的形成理论，并进行了详细的推导和论述，以便使这一理论及技术研究更加完善。

1 球面渐开线理论及应用成果探讨

1.1 球面渐开线理论

实际上，弧齿锥齿轮副在传动过程中，轮齿上各点到节锥顶点的距离始终是不变的，齿廓为球面曲线[9]。由于其节锥母线为其相对运动的瞬心线，弧齿锥齿轮就相当于一对圆锥相切并作无滑动的滚动。如图1所示，在以节锥顶点O点为中心的球面，在某一瞬间的运动表现为：垂直于节锥母线的传动平面上，有一对圆柱直齿轮在传动，在大端则是节圆半径为AP和BP的两个圆锥齿轮传动。

图1 轴线及传动平面

当平面在基圆锥上滚动时，平面上的一点的运动轨迹就称为球面渐开线，该圆锥为基圆锥。如图2所示，圆平面O与基圆锥OK0O1相切并在锥面上作纯滚动，圆平面上的一动点K在空间的运动轨迹就是渐开线。由于动点K在渐开线上任意位置到基圆锥顶点O的距离始终相等，故该渐开线是在以O点为球心的球面上。当圆平面由初始OK0位置滚动到ON位置时，动点K的运动轨迹为球面渐开线K0Kt。

图2 球面渐开线原理

球面渐开线方程可以如下方法求解。过点K作垂直轴线OO1的平面，交轴线OO1于Q点，交母线OK0于P点。在形成的直角三角形OKQ、OKP、OPN中，存在以下几何关系：

由渐开线的性质，有：

又在球面上：

联立以上方程，可得：

由球面三角学和边角关系，可知球面上有：

根据以上推导，则球面渐开线上的任意一点K的偏角为：

根据如图球面坐标系，可以表示为：

1.2 球面渐开线理论应用成果的有关探讨

在吉林大学所开创性地提出的“产形线切齿法”的研究中，充分利用了球面渐开线理论，克服了以往加工方法存在的原理性误差造成的啮合状态不理想的问题，具有一定独特优势和特点[10]。而其“产形线切齿法”的基本原理，即为图3所示球面渐开线齿面形成原理[11]，却只做了适当的文字性的论述，存在着一些不足之处：1）基圆锥在平面 Q上始终做纯滚动运动且二者相切于一条基锥母线。则在同一个平面O上,切线之外的另一条线即产形线 M0Mn，同时也是作为切削刃的刀具形状曲线，没有作详细的说明和推导。2）往往把产形线用直线代替，这样形成的是螺旋直齿轮而不是螺旋锥齿轮。3）无法保证产形线M0Mn曲线的最终运动轨迹C0Cn既在圆面上又在基锥面上。因为既在圆面上又在基锥面上有且只有圆面与基锥面的切线，而非轨迹曲线C0Cn。

图3 产形切齿法的基本原理

2 球面渐开线齿面的形成原理

2.1 球面渐开线齿面的组成

如图4所示，一个完整的齿面应该包括一个顶面、两个侧面、两个端面。其中，顶面为齿顶面，是两条齿顶线与大小端面曲线围成；两个侧面是指轮齿的成对称形状的凹面和凸面，包括工作齿面、齿根面、以及二者之间的过渡圆角曲面3个部分；大小端面是齿廓曲线围成的。

图4 齿面的基本组成

如图5所示，一个完整的弧齿锥齿轮的齿廓至少由四部分组成：齿顶t1，工作齿廓t2，齿根t4，以及连接工作齿廓及齿根的齿根过渡圆角t3。在加工过程中，工作齿廓线所成的曲面由刀具的直线刃部分包络展成，过渡曲线所构成的过渡曲面，是由刀具齿顶尖或齿顶圆角包络形成的。

所以，在实际的齿轮传动中，球面渐开线齿面是指由大小端的工作齿廓曲线和齿顶线及过渡圆角线围成的工作齿面。

图5 球面渐开线齿面的基本组成

2.2 球面渐开线齿面的形成原理

当一圆面与一基锥面相切并在其上纯滚动时，圆面上的点可构成球面渐开线，而由这些连续的点所组成的线则可构成球面渐开线齿面。如图6所示，圆面上的点K0和Kt所形成的空间轨迹为齿轮大小端的工作齿廓，而曲线段K0Kt在空间的运动轨迹就形成了轮齿的齿面。其中圆面Q称为发生面，曲线K0N称为发生线，而曲线K0Kt则称为产形线。其中，产形线为发生圆面Q上的一条非切线的曲线，是根据基锥面的螺旋线经过相应的图形变换得来的。发生圆面做纯滚动所转过的角度为μ，对应的是基锥底圆面上发生线的圆心角。

图6 球面渐开线齿面的形成原理

3 球面渐开线齿面的推论

3.1 基圆锥与发生面相切的几何参数

由球面渐开线成形原理可以看出，发生圆面与基锥面和基圆锥的位置关系是其关键点之一。如图7所示，δb表示基锥角，T表示节线所在的节平面，R表示发生面的半径，Rb表示基圆锥的底面半径, δ表示节锥角。直线OM和OQ为节锥面的母线。将节平面如图示方向绕节锥母线OQ旋转角α，就构成了发生面O。节平面T与发生面O的夹角为点Q处的背锥压力角α。发生面与基圆锥的相切于基锥母线 OK。节锥母线与基锥母线的夹角为τ。根据空间几何关系，基圆锥与发生面相切的几何参数可以由以下公式表示：

式中z表示齿轮齿数，z1和z2表示一对齿轮副的两齿轮各自齿数，m为齿轮模数。

图7 基圆锥与发生面相切的几何参数确定

3.2 产形线的推导

在球面渐开线齿面形成原理中，产形线的确定和推导是最关键的环节。因为，该产形线有着自身的独特性和复杂性。首先，它为发生圆面上的一段曲线，因为直线在空中所形成的轨迹为直齿锥齿轮而非螺旋锥齿轮。其次，由于它不在基锥面上，它的推导可以根据基锥面上的螺旋线做适当的旋转处理推导。具体的步骤为：

1） 基圆锥螺旋线的求解。该螺旋线是一条阿基米德螺旋线。如图8 所示，根据螺旋线的定义，基锥面上的任意一点一边匀竖直向上一边随母线绕轴线运动，其运动轨迹就是一条基圆锥面上的螺旋曲线。其中动点k 处的切线与母线的夹角为其螺旋角β，则螺旋线可以用方程表示为：

另外，根据相关计算，螺旋转角θn可表示为：

同时，常数k有以下公式求得：

上式中，βh为基圆上小端处的螺旋角。

图8 基圆锥螺旋线

2） 求解产形线K0Kt。如图9，以基圆锥顶点O为球心作一系列半径Rn可变的球，与螺旋线相相交于一点，同时与圆面O交于一点。令与圆面O所交的点为动点Kn，则动点Kn所构成的空间曲线为所求的产形线。根据以求的基圆锥方程，将动点到基锥顶点O的锥距变为Rn就可得到基圆锥面上的产形线方程。其中，可变半径Rn可以在圆面直径上等分求取，公式为：

图9 产形线的求解

确定等分 N后，就可连接这些连续点构成产形线，故其方程可以简化为：

其中，Rt≤Rn≤Rh，Rt和Rh分别表示基圆锥面上齿轮小端和大端到顶点的距离，而θ ′为图形变化过程中动点Kn相对于起点K0所转过的角度。

3.3 大小端面工作齿廓的推导

3.3.1 大端工作齿廓的推导

根据球面渐开线形成的原理，大端的工作齿廓即为球面渐开线，可根据球面渐开线公式和建立的球面坐标系求得：

3.3.2 小端工作齿廓的推导

小端的工作齿廓的推导需先推导出小端面相对于大端面的球面偏角：

上式中，δ表示分锥角，下标 h表示齿轮大端，而t表示齿轮小端。根据球面渐开线齿面形成原理推导工作齿廓曲线,为：

上式中，B为齿宽，Δθ ′为由圆锥面的螺旋线向发生圆面做变换过程中的球面坐标系中的旋转角度。

3.4 球面渐开线齿面的推导

根据建立的球面坐标系S0(X, Y, Z)，通过球面渐开线齿面形成原理和已经求解的产形线方程，作适当的旋转变换即可看作绕Z轴旋转就可以得出渐开线的齿面方程，为：

上式中，u表示纯滚动中圆面所转过的角度，可由公式表示为：

4 球面渐开线齿面的应用

基于球面渐开线齿面形成原理，在螺旋锥齿轮的设计尤其是模型设计方面有很大的优势。除了在三维绘图软件中可以由产形线方程快速创建产形线，然后借助软件中的旋转功能直接旋转构成齿面外；还可通过端面齿廓曲线族进行曲线拟合生成齿面。如图 10所示，就是在产形线上取均匀的等分点快速创建多等分的齿廓曲线族，由一个端面到另一个断面，可完成齿轮的精确拟合。这样，利用该原理可快速精准地完成螺旋锥齿轮的参数化模型设计。

另外，基于球面渐开线齿面形成原理，为螺旋锥齿轮的加工提供了新的途径。以前出现的加工方法主要有两类：一类是以格里森 Free-From五轴联动数控铣齿机为代表的专用机床加工[12]，另一类就是以通用的铣削加工中心为代表的铣削加工[13]。而这种以产形线为刀刃形状的产形线切齿加工法，可加工出具有良好的啮合性能的无原理性误差齿面，且操作方便精度较高，另外在三轴联动机床上就可完成加工，大大降低了生产成本。只是在加工过程出现的机床和刀具误差，机床噪声和振动、装配机热处理变形所带来的误差，却需要不断地提高相关的CAM软件技术来减小。

图10 齿廓曲线族拟合生成齿面

5 结 论

1） 本文结合球面渐开线理论，详细地论述了有关球面渐开线齿面的基本组成，对面渐开线齿面的原理进行了研究，丰富了螺旋锥齿轮研究的理论基础。

2） 分析了已有的球面渐开线理论应用的不足之处，重点推导了原理过程中的有关产形线、工作齿廓、球面渐开线齿面的基本方程表达式，为该原理的应用提供了基础。

3） 基于球面渐开线齿面形成原理，对螺旋锥齿轮的设计和加工提出了相关的应用方案，并进行了探讨，为螺旋锥齿轮的设计和加工提供了新的条件和途径。

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Forming Principle and Inferences of Spherical Involute Tooth Surface for Spiral Bevel Gears

Ding Han, Adayi·Xieeryazidan
(School of Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi Xinjiang 830046, China )

From the precise shape of the tooth surface of the spiral bevel gears, the basic components of the spherical involute tooth surface are discussed in detail. On the basis of application of the theory about spherical involute for the spiral bevel gears, the characteristics and shortcomings are analyzed and summarized, and a principle of forming spherical involute tooth surface for the spiral bevel gears is proposed in the paper. Additionally, it makes inferences of its key links namely the generating-line, working tooth profile, and the basic equations of the spherical involute tooth surface, and proposes some approaches for its surface design and manufacturing, in order to provide theory basis and ideas for the research on the spiral bevel gears.

spiral bevel gears; spherical involute tooth surface; forming principle; generating-line; working tooth profile

TH 122

A

2095-302X (2013)06-0042-06

2013-05-02；定稿日期：2013-06-04

国家自然科学基金资助项目（50965017）

丁 撼（1987-），男，湖北监利人，硕士，主要研究方向为CAD/CAM及先进制造技术。E-mail：dinghan0204@163.com

阿达依·谢尔亚孜旦（1963-），男，新疆阿勒泰人，教授，博士，主要研究方向为机械设计理论、非传统加工技术。

E-mail：adayxj@126.com