保守力的二元属性

苏云

(韩山师范学院物理与电子工程系 广东 潮州 521041)

力学是物理学的入门篇章，而力是物理学中最重要的概念，从牛顿运动定律到万有引力定律，经典力学用了4个定律来定义这个概念，这在物理学乃至整个自然科学中都是绝无仅有的.

在力这个大概念之下有一种性质非常特殊的力，它就是保守力.从作用效果来看保守力可以分为两种，一种是以做功的形式表现出来，成为改变质点能量(动能、势能、机械能)的原因，这一点与所有其他力相同.另一种是以能量的形式呈现，成为被其他力做的功所改变的对象，也就是势能，这是保守力所特有的性质，也是导致力学系统与能量守恒定律建立联系的关键所在.为了更好地理解保守力的独特性质，有必要回顾一下这一概念产生和演变的过程.本文的讨论只限于经典力学.

从牛顿第二定律出发可以推导出质点的动能定理[1]

(1)

这是一般意义上的功能转换关系，方程左端是所有力对这个质点所做功之和.我们知道，经典力学只有为数不多的几种常用力，其中重力、万有引力和弹性力等都有已知的函数形式，分别由万有引力定律和胡克定律来表述.下面把这些力函数分别代入方程(1)，看看能得出些什么结果.

首先考虑重力的情况，把式(1)左端A当中重力所做的功分离出来，并用力函数来表示它，于是方程变为

(2)

式中A′是重力以外的其他力对质点所做的功.

这一变化引出了两个结论：

第一，重力的功是位置的函数，当z=z0时这个功等于零，换句话说，如果质点运动了一个闭合路径，重力在这个过程中不做功.

第二，重力的功已经是自变量z的函数了，按照数学的习惯应该把它移到方程右端，式(2)左端m前面的那个负号就是在为移项做准备.我们知道，教科书是通过做功来定义保守力概念的，即保守力做功等于势能增量的负值，其中的“负值”就源于这个为移项做准备的负号，此刻它已经成为保守力概念的一部分了.移项后方程(2)变为

(3)

接下来讨论引力的情况，按照同样方法可以得到类似于式(2)和(3)的两个方程

(4)

(5)

同样，对于弹性力的情况也可以得到相应的两个方程

(6)

(7)

可见，万有引力和弹性力做的功也都可以表示成位置坐标的函数，因而可以移项并与动能合并，而且在质点运动一个闭合路径时这两个力所做的功都等于零.

上述分析揭示出这三个函数形式已知的力所具有的一些独特物理性质.首先，它们所做的功可以表示成位置坐标的函数，即当质点运动一个闭合路径时这些力不做功，这一特性最终导致保守力概念的产生.其次，保守力的功在移项后可以与方程右端的动能合并，现在需要把这个功当作能量来看待了，于是势能概念应运而生，与动能合并之后机械能的概念也顺理成章地产生了.

鉴于这三个力的共同属性，可以将上述6个方程概括为下面两个

A′+[-(Ep-Ep0)]=Ek-Ek0

(8)

A′=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)=E-E0

(9)

其中Ek和Ep分别是质点的动能和势能，E和E0分别是末态和初态的机械能，此处的A′则是所有非保守力做的功.

上述推导过程揭示了保守力的双重属性.它要么像方程(8)那样以力做功的形式存在，成为改变质点动能的原因；要么以能量的形式呈现，像方程(9)那样被其他力做的功所改变，二者必居其一.前者侧重的是保守力的做功属性，体现其改变质点能量的作用，而后者侧重的则是它的能量属性，被其他力做的功所改变.究竟采取哪种形式取决于解决实际问题时方便与否.

式(1)的功能关系揭示了做功与动能改变之间的一般关系，保守力的二元属性使这一关系向前推进了一大步，即式(9)所表示的非保守力做功与机械能改变之间的转换关系，由此与能量转换与守恒定律建立了联系，进而得到了机械能守恒定律.

综上所述，在势能和机械能等基础概念的建立过程中，以及在功能关系的演变过程中，保守力的二元属性所起的作用是极为关键的.

参考文献

1 程守洙,江之永.普通物理学(第五版第一册).北京:高等教育出版社, 2000.82