3-TPT并联机床的误差分析

杨辉，赵恒华，高兴军

(辽宁石油化工大学机械工程学院，辽宁抚顺113001)

并联机床自1994年问世以来［1－2］，较传统机床有很大的优越性。但是，并联机床的精度与高精度的传统机床相比还有一定的差距。目前工业上对机床精度的要求越来越高，所以降低并联机床的加工误差，在实际生产中有着十分重要的意义。在众多误差影响因素中，铰链的位置误差以及驱动杆的测量误差是影响并联机构位姿精度的两个重要因素。作者根据误差独立作用原理建立3-TPT 并联机床的误差模型，进而对其进行理论分析，并利用MATLAB 软件对结果进行仿真，为误差补偿提供理论基础。

1 并联机床误差的一般表达式

并联机床的位姿误差［3－5］是衡量机床性能的重要指标之一，它包括:位置误差和姿态误差。但由于3-TPT并联机床的运动平台在运动中只有位置的变化，而没有姿态的变化，故文中主要分析该机床的位置误差。

如图1所示，运动平台的位置［6］是由驱动杆的长度和铰链点的位置确定的。由误差独立作用原理可知，运动平台的位置误差是由驱动杆的长度误差同铰链点的位置误差叠加而成的。设矢量p 表示运动平台的位置，则可得到运动平台位置的一般表达式为:

式中:l 为驱动杆组成的关节坐标矢量，l =［l1，l2，l3］T;Bi为定平台铰链点的位置矢量;Ai为运动平台铰链点的位置矢量。

图1 三杆并联机构空间坐标

对式(1)两端微分可得到3-TPT 并联机床运动平台位置误差的一般表达式为:

式中:Δl 为驱动杆的杆长误差，Δl = ［Δl1，Δl2，Δl3］T;ΔBi为定平台铰链点的位置误差，ΔBi=［Δxbi，Δybi，Δzbi］T;ΔAi为运动平台铰链点的位置误差，ΔAi=［Δxpi，Δypi，Δzpi］T。

2 驱动杆杆长误差对位置误差的影响

设驱动杆的杆长误差为Δl ，并由此引起的运动平台误差为Δp1，且它们之间的关系可表示为:

式中:Δp1=［Δx Δy Δz］T，Δl =［Δl1Δl2Δl3］T，为驱动杆杆长误差传递函数。

根据杆长公式可得:

式中:c 为上下平台外接圆半径差，即c =R－r。由此可知其误差传递函数。

为全面考察机床的参数对位置误差的影响，故利用无穷范数K(Δ)对误差传递函数矩阵进行考察，其可表示为:

式中:aij为误差传递函数矩阵的元素。

利用误差传递函数矩阵的范数评价驱动杆杆长误差对运动平台位置误差的影响，可表示为:

对于3-TPT 并联机床样机，定平台外接圆半径R=600 mm，运动平台外接圆半径r =400 mm，l =850 ～1 300 mm，设该机床的特征参数λ =l/c，利用MATLAB 软件［7－8］进行仿真，其结果如图2所示。由图(a)可知:该并联机床运动平台的位置误差随特征系数的增大而增大。由图(b)可知:运动平台离定平台越近，则驱动杆杆长误差对运动平台的位置误差的影响越小。图(c)则表明:运动平台离工作空间越近，驱动杆杆长误差对运动平台位置误差的影响越小。

图2 驱动杆误差传递函数范数与各几何参数的关系

3 铰链点位置误差对位置误差的影响

在考虑铰链点位置误差的影响时，根据误差独立作用原理，在考虑某个铰链的影响时，认为其他的铰链不存在误差。最后将所有铰链点位置误差的影响累积到一起即为运动平台的位置误差。

设(xb，yb，zb)为定平台铰链点在固定坐标系下的坐标，(xp，yp，zp)为运动平台铰链点在固定坐标系下的坐标，则有:

假设运动平台的铰链位置正确，则其位置误差主要是由固定平台铰链点的位置误差所引起的，对式(8)微分则有:

由于运动平台任意一点的变化都相同，所以运动平台的位置误差就是运动平台铰链点的微小变化［Δxpi，Δypi，Δzpi］T，即:

分别求定平台铰链点位置误差对运动平台位置误差的影响，则有当i=1 时，有:

令:

由于| B|≠0，所以矩阵B 可逆，则:

同理可求出其他5 个铰链点误差对运动平台位置误差的影响，即:

其相应的误差影响系数为:

由式(19)、(20)和(21)可以看出，每根杆两端铰链点位置误差对运动平台位置误差的影响相同。将式(13)—(15)与式(16)—(18)合并，则有:

因为3 根驱动杆对称分布，故每对铰链影响规律相同，以驱动杆l1作为仿真对象，方法及参数与前述相同，利用MATLAB 软件，仿真结果如图3所示。由图(a)可知:该并联机床运动平台的位置误差随特征系数的增大而增大。由图(b)可知:随着z 坐标值的增大，铰链点位置误差对运动平台位置误差的影响越大。图(c)则表明:当x 趋近于0 时，运动平台的位置误差随着y 值的增大而减小。

图3 铰链点位置误差传递函数范数与各几何参数的关系

4 结束语

并联机床作为新一代的数控机床，虽然较传统机床有许多优点，但在精度上与高精度传统机床相比还有一定的差距。分析驱动杆杆长误差以及铰链点位置误差对运动平台位置误差的影响，通过理论分析，建立了误差模型，并用MATLAB 软件对它进行了仿真分析。从结果可以看出:运动平台的位置误差随着机床结构尺寸的增加而增大，并对机床产生不利的影响。通过误差分析，建立误差模型，为机床机构的进一步优化以及误差补偿奠定了基础。

【1】高天雷.国内并联机床的发展［J］.航空制造技术，2010(4):60－62.

【2】金云龙.并联机床的研究现状和发展前景［J］.企业技术开发，2010，29(6):128－129.

【3】胡明，田文元，蔡光起.并联机床驱动杆铰链位置误差分析［J］.东北大学学报，2007，28(3):389－392.

【4】左扣成，谢里阳.3-TPT 型并联机床的误差分析与仿真［D］.沈阳:东北大学，2005.

【5】吕春梅，谢里阳.3-TPT 型并联机床仿真分析与研究［D］.沈阳:东北大学，2005.

【6】杨斌久，蔡光起，赵亮.三杆五自由度并联机床运动学研究［J］.工具技术，2005，39(2):14－16.

【7】崔智全，赖一楠，赵韩涛，等.MATLAB 2009 从入门到精通［M］.北京:中国铁道出版社，2011.

【8】曲丽荣，胡容，范寿康.LabVIEW、MATLAB 及其混合编程技术［M］.北京:机械工业出版社，2011.