关于丢番图方程x3±8=Dy2

万 飞，杜先存

（红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199）

关于丢番图方程x3±8=Dy2

万 飞，杜先存

（红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199）

利用初等方法证明了：若D≡19(mod 24)为奇素数，则丢番图方程x3+8=Dy2无gcd(x,y)=1的正整数解；若D≡1(mod 24)为奇素数，则丢番图方程x3-8=Dy2无gcd(x,y)=1的正整数解．

丢番图方程；奇素数；正整数解；同余式

方程

x3±8=Dy2(x,y∈N,D＞0，且无平方因子) (1)是一类重要的丢番图方程，其整数解已有不少人研究过。1942年，Ljunggren[1]证明了方程(1)最多有一组正整数解。1981年柯召、孙琦[2]证明了D不能被3或6k+1形的素因子整除时，如果D≡0, 2, 3(mod 4)，则方程

仅有整数解

若D≡0, 1, 2(mod 4)，则方程

仅有整数解

1981年柯召、孙琦[2]证明了D不能被3或6k+1形的素因子整除时，如果D≡11, 19(mod 20)，则方程

无非平凡整数解；若D≡1, 9(mod 20)，则方程

无非平凡整数解。 1991年，曹玉书[3]给出了D含6k+1型素因子时方程(1)无非平凡整数解的一些充分条件。1992年，曹玉书、黄龙铉[4]给出了D含6k+1型素因子时方程(1)无非平凡整数解的一些充分条件。2010年，韩云娜、赵春华[5]给出了D含6k+1型素因子时方程

无非平凡整数解的一些充分条件。2011年，李娜[6]给出了

并且D1不能被3或6k+1形的素因子整除，p是正奇素数时方程(1)无正整数解的一些充分条件。乐茂华[7]给出了方程

无gcd(x,y)=1的正整数解的一个充分条件；乐茂华[8]给出了方程

无gcd(x,y)=1的正整数解的一个充分条件。本文给出了D含6k+1型素因子时方程(1)无正整数解的充分条件。

定理1若D≡19(mod 24)为奇素数，则丢番图方程

无gcd(x,y)=1的正整数解。

证明设(x,y)是方程(1a)的正整数解，则由

D为奇素数可知，(1a)可分解为如表1所示的4种可能的情形。

表1 D≡19(mod 24)为奇素数时方程(1a)可分解的4种可能情形

下面分别讨论这4种情形下方程(1a)的解的情况。

对于情形I，由第二式可解得x=0或x=2，代入

均无正整数解。故在情形I下方程(1a)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

对于情形II，由x+2=a2及x≡1(mod 2)知a为奇数，故a2≡1(mod8)，从而得

又D为奇素数，x≡1(mod 2)，则由第二式知b为奇数，故b2≡1(mod 8)，而D≡19(mod 24)，故D≡3(mod 8)，所以Db2≡3(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形II下方程(1a)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

对于情形III，由D为奇素数及x≡1(mod 2)得a为奇数，则a2≡1(mod 8)，所以

又x≡1(mod 2)，则由第二式知b为奇数，故b2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形III下方程(1a)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

对于情形IV，由

知a为奇数，故21(mod8) a≡ ，从而得

又D为奇素数，x≡1(mod 2)，则由第二式知b为奇数，故b2≡1(mod 8)，而D≡19(mod 24)，故D≡3(mod 8)，所以Db2≡3(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形IV下方程(1a)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

综上有，方程(1a)在题设条件下无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

定理2设D≡1(mod 24)为奇素数，则丢番图方程

无gcd(x,y)=1的正整数解。

证明设(x,y)是方程(1b)的正整数解，则由

D为奇素数看知，(1b)可分解为如表2所示的4种可能的情形。

表2 D≡1(mod 24)为奇素数时方程(1b)可分解的4种可能情形

下面分别讨论这4种情形下方程(1b)的解的情况。

由于gcd(x,y)=1，故x≡1(mod 2)，y≡1(mod 2)。

对于情形I，由x-2=u2及x≡1(mod 2)知u为奇数，故u2≡1(mod 8)，从而得

又D为奇素数，x≡1(mod 2)，则由第二式知v为奇数，故v2≡1(mod 8)，而D≡1(mod 24)，故D≡1(mod 8)，所以Dv2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形I下方程(1b)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

对于情形II，由D≡1(mod 24)得D≡1(mod 8)，又x≡1(mod 2)，故u为奇数，则u2≡1(mod 8)，所以

又x≡1(mod 2)，则由第二式知v为奇数，故v2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形II下方程(1b)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

对于情形III，由x-2=3u2及x≡1(mod 2)知u为奇数，故u2≡1(mod 8)，从而得

又D为奇素数，x≡1(mod 2)，则由第二式知v为奇数，故v2≡1(mod 8)，而D≡1(mod 24)，故D≡1(mod 8)，所以Dv2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形III下方程(1b)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

对于情形IV，由D≡1(mod 24)得D≡1(mod 8)，又x≡1(mod 2)，故u为奇数，则u2≡1(mod 8)，所以

又x≡1(mod 2)，则由第二式知v为奇数，故v2≡1(mod 8)，所以有

矛盾。故在情形IV下方程(1b)无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

综上，方程(1b)在题设条件下无满足gcd(x,y)=1的正整数解。

[1] Ljunggren W. Satze Uber unbestimmte Gleichungen, Skr[J]. Norske Vid. Akad. Oslo I, 1942(9)∶53.

[2] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x3±8=Dy2和x3±8= 3Dy2[J].四川大学学报(自然科学版),1981(4)∶ 1-5.

[3] 曹玉书.关于丢番图方程x3±8=3Dy2[J].黑龙江大学学报(自然科学版),1991,8(4)∶18-21.

[4] 曹玉书,黄龙铉.关于丢番图方程x3±8=3Dy2[J].黑龙江大学学报(自然科学版),1992,9(2)∶3-5.

[5] 韩云娜,赵春华.关于Diophantine方程x3±8=3Dy2[J].四川理工学院学报(自然科学版),2010,23(2)∶156-157.

[6] 李娜.关于Diophantine方程x3±8=Dy2[J].四川理工学院学报(自然科学版),2011,24(5)∶593-595.

[7] 乐茂华.关于Diophantine方程x3+8=3py2[J].宁德师专学报,2004,16(4)∶347-349.

[8] 乐茂华.关于Diophantine方程x3-8=3py2[J].湛江师范学院学报,2004,25(3)∶5-6,9.

（责任编辑、校对：赵光峰）

On the Diophantine Equation x3±8=Dy2

WAN Fei, DU Xian-cun

(College of Teachers Education, Honghe University, Mengzi 661199, China)

Letting Dbe an odd prime of the form 6k+1, using the elementary method, we proved that the Diophantine equation x3+8=Dy2(x,y∈N)has no integer solutions with gcd(x,y)=1, where D≡19(mod 24). In addition, we also prove that the Diophantine equation x3-8=Dy2(x, y∈N)has no integer solutions with gcd(x,y)=1, where D≡1(mod 24).

Diophantine equation; odd prime; positive integer solution; congruence

O156

A

1009-9115(2013)05-0027-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2013.05.008

2013-04-25

万飞（1969-），女，云南建水人，副教授，研究方向为数学教育及初等数论。