均匀椭球粒子对拉盖尔-高斯光束的散射特性研究*

欧 军 江月松 邵宇伟 屈晓声 华厚强 闻东海

(北京航空航天大学电子信息工程学院，北京 100191)

(2012年9月15日收到;2013年2月2日收到修改稿)

1 引言

自1992年Allen等[1]发现具有方位角相位为exp(ilφ)(l为整数)的光束的每个光子在其传播方向上携带有l的轨道角动量之后，具有螺旋波前的光束如拉盖尔-高斯(Laguerre-Gaussian，LG)光束在量子信息处理[2]、粒子操纵[3,4]、空间通信[5,6]等领域得到了广泛的应用.尤其是在空间通信领域，可以大大增强通信的传输数据容量[5]和保密性[6].然而光波在传播过程中将不可避免地遇到大气粒子如雨滴、气溶胶、冰晶等，这些粒子对光的作用主要是粒子的散射而引起光能的衰减[7].已有部分专家学者致力于研究LG光束入射时球形粒子的散射特性[8,9]，针对非球形粒子对LG光束的散射研究仍然很少.由于自然界中的粒子形状很多都是非球形的，并且椭球模型更接近粒子的实际形状，因此研究椭球粒子对LG光束的散射作用是很有意义和必要的.

对于椭球粒子的散射研究工作，最著名的是由Asano等[10]开展的，尤其是他们提出的对于椭球粒子边界条件的处理方法，是一种公认的能够解决边界问题的好方法.韩一平等人纠正了Asano对于边界条件处理的错误参数，基于广义Mie理论[11]计算得到高斯波束在椭球坐标系中的波束因子[12]，研究了均匀椭球粒子对于高斯波束的散射特性[13].本文在以上工作的基础上对在轴入射的LG光束与椭球粒子相互作用过程展开了理论研究.采用局域近似法求解LG光束在椭球坐标系中的波束因子，然后由散射系数求得散射强度.讨论了散射强度随椭球粒子尺寸参数和扁圆程度的变化特性，并针对不同拓扑荷时的散射强度进行了对比分析.

2 理论分析

2.1 拉盖尔-高斯光束

LG光束最突出的两个特点是具有螺旋形的波前和光束是中空的即中心强度为零[14].忽略时间因子exp(-iwt)，LG光束可以写为[15,16]

相位因子 exp(ilφ)表明此模式的光束具有螺旋波前.

2.2 入射LG光束在椭球坐标系中展开

对于计算LG光束在球坐标系中的展开系数，文献[8，9]已给出具体方法.但是针对LG光束在椭球坐标系中波束因子的计算，至今还很少人开展过这方面的工作.本文先将LG光束在球坐标系中用球矢量波函数展开，根据球矢量波函数与椭球矢量波函数的关系，得到椭球坐标系中的展开系数.

图1为设计的粒子散射模型图.由于研究的粒子粒径与光束的波长处于同一数量级，所以将LG光束经过透镜聚焦后，入射在椭球粒子的中心，粒子位于透镜的焦平面处.

椭球粒子内外电磁场满足标量Helmholz方程

其中k是波数，标量 Helmholz方程的通解形式[17]为

m和n为整数，-∞＜m＜∞，|m|≤n＜∞.c为介质的特征量且c=kf，f为椭球的半焦长度，k为介质中的波数.在长椭球坐标系中-1≤η≤1，1≤ζ≤∞，0≤φ≤2π.Smn(c;η)是椭球角波函数，Smn(c;η)可以用连带勒让德函数的无限级数和来表示：

由标量波动方程的解便可得到矢量椭球波函数

图1 散射模型图，Rf为透镜焦距，w(Rf)为透镜焦平面处的光斑半径

在球坐标系中入射光可表示为球矢量波函数的无限级数和[18]

经过一系列的代数运算可以得到入射光电场矢量在椭球坐标系中的展开式

3 数值结果与分析

3.1 波束因子的数值求解

本文采用局域近似法来计算波束因子，局域近似法计算速度快，对计算机的配置要求不高，可在微机上进行.在大多数场合与积分法[19]和有限级数法[20]相比其引起的误差很小，并且在可接受范围内[21].

表1 在椭球坐标系中波束因子的值(光束的束腰半径w0=2.025µm，粒子折射率n=1.33)

3.2 远场散射光强

实际中人们通常考虑远场(cζ→∞)的散射光强，借助于cζ→∞时忽略高于1/r的高阶项，利用第三类椭球矢量波的渐近表达式，可得电场远场的各分量为

图2 不同尺寸参数的椭球粒子在光束入射下散射强度的角分布图 (a)c=3;(b)c=4;(c)c=5

图3 不同扁圆程度的椭球粒子在光束入射下散射强度的角分布图

拓扑荷数是LG光束的重要参量，因此本文对椭球粒子(c=5,a/b=3)携带有不同拓扑荷数(l=2，3，4)的LG光束作为入射光时的散射强度进行了仿真计算，结果如图5所示.从图中可以看出，散射强度随拓扑荷的增大而相应减小，这是由随着拓扑荷的增大，入射光束中空的面积将增大，与椭球粒子的作用面积将减少引起的.

图4 球形铝粒子在光束入射下散射强度的角分布图

4 结论

本文研究了均匀椭球粒子对LG光束在轴入射下的散射特性.通过局域近似法计算得到了LG光束椭球坐标系中波束因子，仿真计算得到散射光强随椭球粒子不同尺寸参数和扁圆程度的变化特性曲线.对比分析具有不同拓扑荷数的LG光束入射下的椭球粒子的散射特性，利用入射光在粒子尺度范围内的能量分布特点解释了两者的区别.本文的理论成果和数值方法可作为研究基础，进一步推广到离轴入射以及复折射率介质椭球的电磁散射中.

图5 散射强度随入射光束不同拓扑荷的变化曲线图 (a)l=2;(b)l=3;(c)l=4

[1]Allen L，Beijersbergen M W，Spreeuw R J C，Woerdman J P 1992 Phys.Rev.Lett.45 8185

[2]Mair A，VaziriA，Weihs G，Zeilinger A 1990 Nature 412 313

[3]He H，Friese M E J，Heckenberg N R，Rubinsztein-Dunlop 1995 Phys.Rev.Lett.75 826

[4]Simpson N B，Dholakia K，Allen L，Padgett M J 1997 Opt.Lett.22 52

[5]Molina-Terriza G，Torres J，Torner L 2002 Phys.Rev.Lett.88 13601

[6]Franke-Arnold S，Barnett S，YaoE，Leach J，CourtialJ，Padgett M 2004 New J.Phys.6 103

[7]LiL W，KooiP S，Leong M S，YeoT S，GaoM Z 1995 IEEE Trans.Antennas and Propagation 43 811

[8]ZhaoJ Z，Jiang Y S，Ou J，Ye J H 2012 Acta Phys.Sin.61 064202(in Chinese)[赵继芝，江月松，欧军，叶继海2012物理学报61 064202]

[10]AsanoS，YamamotoG 1975 Appl.Opt.14 29

[11]Gouesbet G，Maheu B，Grehan G 1988 J.Opt.Soc.Am.A 5(9)1427

[12]Han Y P 2005 Acta Phys.Sin.54 5139(in Chinese)[韩一平2005物理学报54 5139]

[13]Han Y P，Wu Z S 2001 Appl.Opt.40 2501

[14]Allen L，Lembessis V E，Babiker M 1996 Phys.Rev.A 53 R2937

[15]Piestun R，Schechner Y Y，Shamir J 2000 J.Opt.Soc.Am.A 17 294

[16]Siegman A E 1986 Lasers(University Science)

[17]Flammer C 1957 SpheroidalWave Functions(California：Stanford University Press)

[18]Xu F，Ren K F，Gouesbet G，Grehan G，CaiX 2007 J.Opt.Soc.Am.A 24 119

[19]Gouesbet G，Grehan G，Maheu B 1988 Appl.Opt.37 4218

[20]Maheu B，Gouesbet G，Grehan G 1988 J.Opt.19 59

[21]Grehan G，Maheu B，Gouesbet G 1986 Appl.Opt.25 3539

[22]Ren K F，Gouesbet G，Grehan G 1998 Appl.Opt.37 4218

[23]AsanoS 1979 Appl.Opt.18 712