圆孔边界上弯折裂纹的奇异积分方程解法①

徐 冬， 张 蕾

(1.临沂职业学院，山东 临沂276017;2.临沂大学理学院，山东 临沂276005)

0 引 言

研究孔边弯折问题具有重要的工程应用价值.关于弯折裂纹的研究已引起许多学者的兴趣，有学者曾利用保角映射来逼近无限体中弯折裂纹问题［1］.也有使用有限元、边界元等数值方法对该问题进行计算［2～5］.用分布位错来模拟裂纹的方法计算时，裂纹位置可以任意［6］. 相关研究工作，可见文献［7 ～9］. 本文拟采用上述方法对圆边界上的弯折裂纹进行研究. 由裂纹边界条件，建立了相应的奇异积分方程. 通过熟知的数值公式，将得到的方程化为代数方程数值求解位错分布，由此，得到裂纹尖端处的应力强度因子值. 这是一种解析、数值相结合求解应力强度因子的方法，各裂纹位置可以是任意的.为了行文方便，文中我们沿用了文献［7 ～9］部分符号和公式.

1 理论分析

在反平面弹性问题的中，应力G、位移w(x，y)和合力f(x，y)可用复势φ(z)［6］表示为

其中τxz，τyz是纵向剪应力.

无限平面时强度为H 的点位错的复势记为沿z0的有向斜线布置分布位错密度为h(s)的连续时复势函数为

其中a 为斜线l 的长度，α 为x 轴正向逆时针转到l正向所成的角度.在以上研究的基础上，可利用位错叠加来模拟裂纹，以求解弯折裂纹的问题.

若φp为无限大域中弯折裂纹的复势，则有

这里N 为裂纹分支数，zc为位错放置点，zcj为第j 条分支端点，aj为第j 条分支长度，hj(sj)为沿第j 条分支分布位错密度函数.

由(1)式和(2)式，可得

要对无限大域中的弯折裂纹问题进行求解，需要通过在(2)式中加一项来消除其在圆孔周界上的作用力以满足圆孔周界自由条件.取

其中p 和h 分别表示主要部分和辅助部分.由圆孔自由条件可以得到φ(t)-= 0，应用镜像原理得

设含圆孔无限大域中，在无限远处作用纵向载荷，裂纹表面自由. 求裂纹端点处的应力强度因子时，问题可化为圆孔周界自由问题的求解，此时裂纹上下表面作用可有大小相等、方向相反的分布载荷. 因此，若已知各裂纹表面上的分布载荷((Tk(sk)(k = 1，2… N)，可在裂纹处布置密度为hk(s)位错，即

裂纹面上的纵向剪应力σnz，k(sk)可表示为

其中z = zck+skeiαk，α 为裂纹面与x 轴正向的夹角.应用(2)式、(4)式到(6)式，再根据(5)式可得到一组奇异积分方程

其中

解上面的方程组可得分布位错密度hk(s)，裂纹尖端处的应力强度因子值可由下式确定

下面给出方程组(7)中Tk(sk)的具体表达式.设无限域中有一半径为R 的圆孔，孔边有一弯折裂纹，表面自由，在远处作用载荷.则相应的复势为

由叠加原理，裂纹端的应力强度因子值等于裂纹上下表面作用有分布载荷.裂纹上下表面作用的分布载荷大小等于远处作用有纵向载荷p，无裂纹时，裂纹位置处应力的反向值. 由(6)式可得，裂纹第k 条分支(k = 1，2，…，N)上作用的分布载荷为

(8)式代入(7)式，采用半开型积分公式［10］对方程组进行数值计算，数值积分公式为

其中

若

则可将方程(7)和条件(3)化为一组代数方程.求解代数方程组得到Dj(sj)，从而得到裂纹尖端处的应力强度因子值

2 算 例

最后，我们用一个具体的算例来说明问题..设含圆孔无限大域中弯折裂纹的圆孔半径为R，弯折点为B，各裂纹长度均为a = R/3，裂纹弯折角度为α.把裂纹端C 的应力强度因子写成无量纲形式

裂纹尖端C 的F3，C值见表1.

表1 圆孔边缘弯折裂纹的值

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