二阶变系数线性常微分方程的约化①

窦彩玲

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241000)

0 引 言

本文考虑二阶变系数线性常微分方程

的约化和求解，其中f(x)，g(x)为充分光滑函数.

在文献［1，2］中，作者考虑常系数线性常微分方程

形如y = z(x)eλp(x)的解，并将方程(2)约化为关于λ 的一元二次代数方程

这里以及下文中A，B 为任意常数，λ 为满足(3)的待定常数.代数方程(3)又称为方程(2)的特征方程.在求解欧拉方程

的解时，利用变量代换x = et将方程转化为形如(1)的常系数线性常微分方程，从而得到方程(4)形如y = xλ形式的解.事实上，考虑方程(4)形如y= xλ的解，也可以将方程(4)约化为关于λ 的一元二次代数方程. 在文献［3］中，Ibragimovk 通过对称群方法，指出方程

也可以约化为关于λ 的一元二次代数方程(3)，并且有形如

的解.在文献［4 ～8］中，人们利用待定常数法或者变量代换法，将一些变系数线性常微分方程约化为代数方程.

在本文中，利用待定常数法，我们考虑具有形如

的解的二阶变系数线性常微分方程(1)，并将方程(1)转化为形如(3)的代数方程. 事实上，当z(x)= 1，p(x)= x 时，(7)就是形如y = eλx的解;当z(x)= 1 且p(x)= ln x 时，(7)就是形如y = xλ的解;当时，(7)就是形如(6)的解;当z(x)= 1 时，(7)就是文献［5，6］中考虑的解;因此，解(7)具有一般形式. 在下文中考虑p(x)≠1 的情形.

1 主要结果

1.1 方程(1)的约化

将y = z(x)eλp(x)代入方程(1)，整理后，有

令

由(8)和(9)得

因此，有下面的定理成立.

定理1 变系数线性常微分方程

可约化为代数方程

其中

这里z(x)，p(x)任意函数，A，B 为任意常数.

1.2 二阶变系数线性常微分方程(10)的解

定理2 设Δ = A2- AB，则方程(10)的解具体如下:

(1)当Δ ＞0 时，方程(11)有两个不相等的实根，设为λ1，λ2，则方程(10)的通解为

其中C1，C2为任意常数;

(2)当Δ ＜0 时，方程(11)有一对共轭复数根，设为λ1，2= α ± iβ，此时方程(10)的通解为y(x)=［C1cos(βp(x))+C2sin(βp(x))］z(x)eαp(x)其中C1，C2为任意常数;

(3)当Δ = 0 时，方程(11)有两个相等实根，设为λ1，2= λ，则方程(10)的通解为

其中C1，C2为任意常数.

证明 在情形(1)，(2)中，结论显然.这里主要给出第三种情形的证明. 这种情形中，方程(11)有两个相等实根，并且有已知方程(10)的一个解为y1(x)= z(x)eλp(x). 令y2(x)= u(x)z(x)eλp(x)，u(x)为待定函数.则有

把上述y'(x)，y″(x)代入方程中(10)中，可以得到一个关于u(x)的方程

求解后可得到方程(10)的通解

其中C1，C2为任意常数.

注 通过常数变易法，也可得到方程(10)对应的非齐次线性方程的通解，其中h(x)为连续函数.

2 例 题

例1 在方程(10)中，令z(x)= 1 且p(x)=x2，A = -2，B = 1，此时方程(10)变为

它的特征方程为λ2-2λ +1 = 0，且有二重根λ =1.此时，方程(12)的通解为

其中C1，C2为任意常数.

例2 在方程中(10)，令z(x)= x2且p(x)=x，A = -2，B = 3，此时方程(10)变为

且可被约化为代数方程

其中C1，C2为任意常数.

3 结 论

本文通过待定系数法将一类二阶变系数线性常微分方程约化为代数方程，从而得到一类具有形如y = z(x)eλp(x)的解的变系数线性常微分方程，这类解包含了二阶常系数线性常微分方程和欧拉方程的解，具有一般形式.

［1］ 王高雄，周之铭，朱思铭，等. 常微分方程(第三版)［M］. 北京:高等教育出版社，2006 年7 月.

［2］ 丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京:高等教育出版社，1991 年4 月.

［3］ N.H.Ibragimov，Memoiron Integration of Ordinary Differential Equations by Quadrature［J］.ArchivesALGA，2008，5:19 -30.

［4］ 章联生，王勤龙.几类变系数线性常微分方程的求解［J］. 北京石油化院学报，2003，11(4):27 -30.

［5］ 李鸿祥.一类二阶变系数线性微分方程的另二种解法［J］.高等数学研究，2003，6(2):18 -21.

［6］ 张学元.一类二阶时变系数线性微分方程的积分解［J］.湖南工程学院学报，2003，13(4):88 -94.

［7］ 李鸿祥.关于几类高阶变系数线性方程的求解［J］.应用数学学报，1983，6(1):29 -33.

［8］ 李鸿祥.常微分方程的一些新的可积类型［J］.数学的实践与认识，1980(1):46 -51.