对wallis 双边不等式的一个改进及应用①
2013-02-02池爱子郑米海郑鹏飞
池爱子, 郑米海, 郑鹏飞
(台州学院,浙江 临海317000)
0 引 言
Wallis 公式指的是
Wallis 不等式[1]指的是:对于n = 1,2,…,有
文献[2]将式(1)改进为:n = 1,2,…,有
文献[3]将(2)改进为:n = 1,2,…,有
其中
文献[4]将(3)改进为:n = 1,2,…,有
其中
本文对式(4)中的ζn及ηn给出了更好的一个表示式.
1 定理及证明
定理1 对于n = 1,2,…,有
其中
由Wallis 公式,有
考察数列{xn}的单调性.为此,考虑
易知
分别记上式分子,分母为An和Bn,那么
于是
由于
所以
如果Δn>0,这说明此时数列{xn}是严格递增数列.
当α0= 3,
令Δn>0,此时考虑分母小于0,只要取使β(11 +β)+3n(-6 +7β)+2n2(-9 +8β)<0 最大的β即可.
令
只要满足:
即可,解得
最小的β 即可.同理,只要满足
所以
同理可得,右边
证明完毕.
2 定理的应用
2.1 Catalan 数
文献[5]给出了关于Catalan 数
的一个估计:
应用定理1,给出Catalan 数的另一个估计:
2.2 各类双边不等式的数值比较
表1 各类双边不等式左边的误差比较
表2 各类双边不等式右边的误差比较
由上述表格可知,(5)式优于(1 ~4)式. 因此本文得到的结果关于Wallis 双边不等式的加强其结果更加精细.
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