弹簧质量对弹簧振子周期的影响研究

王文涛

(江苏省镇江市第一中学 江苏 镇江 212000)

1 理想弹簧振子的周期

图1

如图1所示的弹簧振子，除振子外不计其他质

量，不计一切摩擦，根据牛顿第二定律可得

ma=-κx

x=Acos(ωt+φ)

2 考虑弹簧振子质量的振子周期

若考虑弹簧振子的质量，可以通过振动过程中的能量求解其周期．如图2所示，设弹簧质量为m0，在距离固定点O距离为x处取一小段微元dx，设弹簧长度为L，那么这段微元的质量为dm，那么

图2

所以弹簧的总动能为

此时振子的动能为

系统的总动能为

若将其等效为一个理想的弹簧振子，其等效振子质量为M，则应该满足

所以可得

因此可得考虑弹簧质量的振子周期为

其周期大于理想弹簧振子的周期．

以上结论可以通过实验验证，取弹簧质量小于振子质量，通过多次周期的测定可以计算出m0前的系数，约为0.3～0.35，与理论结果基本相符．

3 实际弹簧振子的周期

在上述研究中，认为弹簧质量较小，并且弹簧的伸长是均匀的．但是，如果弹簧的质量同振子的质量类似，或者弹簧的长度较长，弹簧的变化实际并非呈线性变化．此时由于振子的运动在弹簧中实际上形成了纵波．所以要解决实际弹簧振子的周期可以利用弹簧的纵波解来辅助研究．

由纵波传播方程可以得到，考虑弹簧质量振子的运动方程实际上是无穷多个简谐运动的合成，其运动方程如下

弹簧的等效质量为0.35m0．

4 结论

如果弹簧振子的质量远小于振子的质量，那么可以当作理想的弹簧振子，其周期公式满足T=

参考文献

1 吴百诗.大学物理.西安：西安交通大学出版社,1994.244～245

2 徐延燕.弹簧振子近似作简谐运动的条件.河北师范大学学报，1997,21(1)