一类半线性椭圆方程组正解的存在性与唯一性

赵建清

(连云港师范高等专科学校 数学与信息工程学院，江苏 连云港 222000)

源于文献[1，2]的启发，本文主要采用不动点定理及Leray-schauder度性质考察如下方程组在一定条件下正解的存在性，不存在性和唯一性等性质.同时对[3]的结果进行了修改和完善.

-Δu=g(x，v)，-Δv=f(x，u)，x∈Ω;
u=v=0，x∈Γ1，u=v=b，x∈Γ2

(1)

-Δu=f(x，u，v)，-Δv=g(x，u，v)，x∈Ω;
u=v=a，x∈Γ1，u=v=b，x∈Γ2

(2)

-Δu=g(x，v)，-Δv=f(x，u)，x∈Ω;
u=v=b，x∈Γ2，u=v=a，x∈Γ1

(3)

其中Ω⊂Rn是有界洞型区域，内边界为Γ2，外边界为Γ1，且∂Ω=Γ1∪Γ2光滑，a，b>0是常数.

1 两个引理

假设如下条件成立:

(H1)f，g：R→R当n=1时连续，且当n≥2时具有指数β∈(0，1]的局部Holder连续性;

(H5)t∈(-∞，0]→f(x，t)单调非增，t∈(-∞，0]→g(x，t)单调非增;

(H8)0≤f(x，s，t)，g(x，s，t)≤c，c为正常数;

(H11)f(x，s，t)，g(x，s，t)分别关于s，t单调增;

(4)

显然，若问题(4)有非负解，则问题(1)有正解．这里Ω∈C2，α，α∈(0，1]．

证明 (1)这是一个典型结果.有-Δw=v，x∈Ω;w=0，x∈∂Ω.

(2)的结果可从最大值原理和边界点引理得到.

-Δψ=1，x∈Ω，ψ=0，x∈∂Ω.

引理2f，g满足(H1)，(H2)，(H5)和(H6)，则存在常数M>0有max(‖u‖∞，‖v‖∞)≤M，对所有问题-Δu=tg(x，v+bh)，x∈Ω，-Δv=tf(x，u+bh)，x∈Ω，u=v=0，x∈∂Ω，t∈[0，1](1.1t)的解成立.

假设若‖u‖∞>A，‖v‖∞>A，使用相同的条件我们得到

从而得到‖v‖∞≤0这与‖v‖∞>A相矛盾.

2 主要结果

另一方面，我们有

定义映射为Lt:Y→Y.

易知对于t∈[0，1]，Lt是紧的.令M是引理2中的常数.

考虑球BM⊂Y:BM={(u，v)∈Y;‖(u，v)‖

(5)

显然，问题(5)有非负解，则问题(2)有正解.

于是(5)化为向量形式:

设问题(2)中函数满足(H7)-(H12)的条件.

推论1 若条件(H7)，(H8)成立，则问题(5)存在一个有界非负解.即方程组(2)存在一个正解.

推论2 若条件(H7)，(H9)，(H10)，(H11)成立，则存在正数K，使当a+bK时，没有解.

推论3 若条件(H12)成立，则问题(2)最多只有一个解.

以上推论的证明可采用文献[2]中作者的证明方法，只需将b用a+b替换即可.

由此方法的启发我们可研究方程组(3)的正解的存在性.

参考文献：

[1]Robert Dalmasso.Existence and uniqueness of positive solutions of semilinear elliptic systems [J].Nonlinear Analysis，2000，39:559-568.

[2]钟金标，陈祖墀.有界洞型区域内半线性椭圆方程组的正解[J].中国科学技术大学学报，2002，32(1):30-36.

[3]伍明珠，赵建清.有界洞型区域内一类半线性椭圆方程组的正解[J].乐山师范学院学报，2006，21(12):12-13.