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一类三阶两点边值问题解的存在性*

2013-01-10姚晓斌

通化师范学院学报 2013年4期
关键词:内蒙古大学边值问题三阶

姚晓斌

(陇南师范高等专科学校 数学系,甘肃 成县 742500)

1 引言

对于带有各种边值条件的显式三阶微分方程,已有很多的解的存在性结果,且在这些问题研究中有着很多的研究方法(见文献[1-6]).非常自然地,会问:对于如下三阶隐式微分方程两点边值问题

(1)

解的存在性结果是否仍然可获得?本文将证明答案是肯定的.

2 预备知识

(H1)f:[0,1]×R×R→R是连续的;

(H2)存在M,L>0,使得对任意的u1,v1,u2,v2∈R.

f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2)≤L(u2-u1)+M(v2-v1).

定义 如果α,β∈C3[0,1]且满足

则α,β分别是问题(1)的上解和下解.

3 主要结果及证明

定理1 设(H1)和(H2)成立,如果问题(1)有上解β和下解α满足

α‴(t)≤β‴(t),0

证明 由于α‴(t)≤β‴(t),0

α(t)≥β(t)

.

证明分为如下五部分:

第一步 问题(1)可转化为

设v(t)=u‴(t).注意到u(0)=A,u′(1)=B,u″(1)=C,因此v是如下积分方程

(2)

的解,这表明

是问题(1)的解,其中

第二步 设x(t)=α‴(t),y(t)=β‴(t),结合条件(H2),有

(i)x,y∈C[0,1],x(t)≤y(t);

x0(t)≤x1(t)≤x2(t)≤…≤xn(t)≤…≤
yn(t)≤…≤y2(t)≤y1(t)≤y0(t).

此外,有x0≤xn≤x*≤y*≤yn≤y0,n=0,1,2….

第四步 证明x*,y*是(2)的解.

因f连续且

于是

注意到

可得

因此,

即x*是(2)的解.

同理易得y*是(2)的解.

第五步 设

参考文献:

[1]Agarwal,R. P.Two-point problems for non-linear third order differential equations[J].J.Math.Phys.Sci.1974(8):571-576.

[2]Das,K. M.and Lalli,B.S.Boundary value problems for [J].J.Math.Analysis Applic,1981,81:300-307.

[3]Agarwal,R.P.On boundary value problems for[J].Bulletin of the institute of mathematics,academia,sinica,1984,12(2):153-157.

[4]Bax ley,J.V..and Brown,S.E..Existence and uniqueness for two-point bo-undary value problems[J].Proceedings of the Royal Society of Edinburgh.1981,88A:219-234.

[5]王金枝.三阶非线性常微分方程边值问题解的存在性与唯一性[J].内蒙古大学学报,1991(3):300-310.

[6]裴明鹤.三阶非线性常微分方程非线性两点边值问题解的存在性与唯一性[J].数学杂志,1997(2)261-266.

[7]D.Guo,J.Sun,Nonlinear Integral Equations[M].Shandong Science and technology Press,Jinan,1987.

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