风电机组塔架自由振动的微分求积法分析

王清波，陈婷

（1.东方电机有限公司，四川 德阳 618000；2.四川建筑职业技术学院，四川 德阳 618000）

风电机组塔架自由振动的微分求积法分析

王清波1，陈婷2

（1.东方电机有限公司，四川 德阳 618000；2.四川建筑职业技术学院，四川 德阳 618000）

塔架结构的振动，不仅会引起塔架的附加应力，影响其结构强度，而且还会影响风轮的变形和振动，从而影响其性能。因此，在风电机组的设计中，必须分析计算风力引起的塔架结构动力学问题。本文介绍了微分求积法原理，使用该方法求解了风电机组锥筒型塔架的固有频率，并与其它数值方法求解的结果进行了对比，结果表明，微分求积法原理简单，计算量小，精度较高，且易于在计算机上实现。

锥筒型塔筒；固有频率；微分求积法

0 引言

大中型水平轴风电机组塔架多为细长的圆筒型或锥筒型和框架型的结构，其顶端安装有大质量的机舱和旋转的风轮，由于风在时间和空间上的多变性、风电机组结构、刚度和阻尼的综合条件下，会引起塔架结构的振动，从而发生空气动力失稳。一旦发生气动力失稳，可能会导致风电机组塔架结构的变形、附加应力、结构强度变化等，因此，对塔架的固有振动特性研究有着重要的现实意义。

对塔架固有频率的求解，可以归结为偏微分方程的定解问题，也就是求一定边界条件下偏微分方程的解，由于问题的复杂性，只有极少数特殊类型的偏微分方程才能得到其解析解，大多数情况下，必须借助数值方法来获得偏微分方程的近似解。目前，比较常用的数值方法有有限元法、有限差分法、边界元法等，本文使用的微分求积法相比于有限元法等其他数值方法，仅使用较少节点便可以获得高精度的结果，尤其对于高阶偏微分方程的求解，更有着计算量小，高精度的优势，且易于在计算机上实现。

1 微分求积法

1.1 微分求积法的原理

微分求积法是将微分方程的求解区域进行网格划分，求解函数在离散点（节点）处的近似值，求解近似值就需要构造算法，而构造算法的关键所在就是如何将离散点的积分或者微分用离散点处的函数值表示。微分求积法就是用离散点的函数值的加权线性和近似替代函数在各个离散点的导数值，这样的话，微分求积法就可以把微分方程转变成以离散点的函数值为未知量的方程组，最后求出微分方程的数值解。

微分求积法原理[1]：设f(x)为一维待定函数，在区间[a,b]（通常情况下，通过对求解区间正规化，区间[a,b]都转化为[-1,1]或[0,1]区间)内连续可微，在区间[a,b]内选取N个互相不重合的节点，则

函数f(x)在全域内任意离散点的r阶导数可以用所有离散点xi(i=1,2,…,N)上函数值的加权线性和近似表示，即：

式中,就为函数f(x)的r阶导数的加权系数，由上式可知，如果加权系数确定了，那么函数在节点处的各阶导数值就可以由式（2）近似表示。假设未知函数

上式中,Pi(x)为插值函数，对式（3）求r阶导数可得

由式（9）可知，只要确定了一阶加权系数矩阵，其它各阶权系数矩阵就能简便的计算出来。如果f(x)为区间内N个节点上函数值f(xi)的Lagrange插值近似，即：

常用的基函数除了Lagrange插值函数之外，还有Chebyshev和Hermite插值函数。

1.2 节点分布的选取

节点的选取也同样影响着求解的精度，选择均匀节点有时候会影响解的收敛性，Bert和王鑫伟等人用切比雪夫多项式解决了非均匀节点选取问题，Shu等人研究发现，边界点和临近边界的内点对应的离散方程的误差最大，是影响结果收敛性的主要因素，所以提出节点向边界“延伸”的方法，以使节点尽量分布在边界附近。

实践表明，使用微分求积法求解运动微分方程式，节点分布对求解结果稳定性和精确性有很大影响。最早最简单的节点分布是Sherbourne和Pandey用微分求积法分析复合材料层合板的稳定性时采用的均匀节点分布，他们发现节点的选取对求解结果影响非常大，而且均匀节点分布在大多数情况下得到的计算结果都是不可靠的。后来很多学者采用了非均匀节点，并得到了很好的效果，例如取切比雪夫多项式的根和勒让德的根作节点。常用的非均匀节点的分布公式有[1]：

式（17），式（18）和式（19）的节点坐标都有向边界靠拢的共同特点，很多学者通过实践发现，接近中间的节点对应权系数的截断误差很小，而接近边界的节点对应权系数的截断误差很大，所以选取具有向边界靠拢的节点分布能够获得较快的收敛速度和更精确的结果。当节点总数大于11时，式（17），式（18）和式（19）的节点分布对求解结果的影响差别不大。

1.3 边界条件的处理

边界条件是否能够正确施加，是用微分求积法求解问题能否成功的关键所在。因此在使用微分求积法分析问题的时候，对边界条件的处理就变得格外重要，对于许多力学问题，像拱的振动和稳定性问题，它的边界条件不止一个，而每个边界只有一个节点，这样的话要施加边界条件就变的比较麻烦，为了解决这个问题，很多学者都做了大量的工作，常用的方法有直接法、权系数修正法、δ法和方程替代法等[2]，微分求积法也正是顺利解决了边界条件这个问题，而应用较广泛。

为了解决多个边界条件的问题，很多学者想到了用域内节点替代边界点，这就是现在常用的处理边界条件的方法之一δ法。δ法也称节点替代法，它是处理高阶微分方程的边界条件的有效方法之一。其方法是将距边界点δ内的点也看作边界点，这样每个边界就有两个边界条件，边界条件就可以施加在这两个点上。为保证计算结果的精确性和可靠性，δ大小的选取就变得相当。经实践得出，δ一般取值为10-6＜δ＜10-4，这样使用微分求积方法时节点的顺序取为：

δ法顺利地解决了边界问题，但没有精确满足，对于每个边界点有两个或者两个以上边界条件的问题，理论上是可以在每个边界点选择两个或两个以上的点来替代边界点的，但实践证实，对于每个边界点有两个或者两个以上边界条件的问题，如果采用δ法来处理边界条件的话，所得结果误差较大，不具可靠性。对于权系数修正法，其做法是在形成高阶导数权系数矩阵的时候就引入边界条件。

2 风电机组塔筒的振动方程

风电机组塔筒是一般采用管式结构，以管式结构为例，可将其简化为悬臂梁，悬臂梁的振动方程可以参看振动力学[2]，管式塔筒示意图如图1，其弯曲振动方程为

其中，EI为抗弯刚度，ρ为单位长度质量，P为外载荷，假设塔筒做自由振动，有P(x,t)=0，设y=Y(x)eiωt，代入上式，得

其中ω为塔筒的圆频率，对于塔筒来说，它的边界条件为：

图1 变截面管式塔筒

假如风电机组塔筒为等截面管式结构，那么，抗弯刚度EL和单位长度质量ρ均为一定值，令无量纲变量X=x/L，L为塔筒高度，式（23）化为微分求积形式为：

假如风电机组塔筒为变截面管式结构，那么，抗弯刚度EL和单位长度质量ρ均是塔筒高度x的函数，同样，令无量纲变量X=x/L，L为塔筒高度，设EI=E0I0k(X)，ρ=ρ0g(X)，将上式代入式（23）得

对于整个风电机组而言，求解塔筒的固有频率，可以把机舱和风轮简化成集中质量，根据式（26），塔筒自由端的边界条件为：

3 例题分析

对于等截面悬臂梁的振动问题，振动力学教材上给出了固有频率精确解[3]。表1对比了精确解和本文求得的数值解。

用本文方法计算NASA MOD－O 100kW风电机组塔筒固有频率，表2给出了该塔架的特性参数[4]。

塔筒参数：塔架高度里L=28.35m；机舱和风轮质量M=13656.9kg。

由表2可以看出，塔筒主要分2节，为了保证结果精度，对单位长度质量和抗弯刚度可以采用分段拟合方法，即单位长度质量和抗弯刚度可以拟合成高度比的函数[5]。

式（28）与边界条件可以写成如下的矩阵形式：

表1 等截面塔筒固有频率

表2 NASA MOD-O 100kW风电机组塔筒特性参数

表3 NASA MOD-O 100kW风电机组塔筒第一阶固有频率

令系数矩阵行列式为零，可以求出塔筒无量纲固有频率，进而得到圆频率ω，再由关系式f=ω/2π，可以求出塔筒固有频率。表3给出了该塔架第一阶弯曲振动固有频率。

4 结论

本文详细地介绍了微分求积法原理，并运用该方法对塔筒固有频率进行了求解，结果表明，微分求积法是求解高阶微分方程的有效方法，尤其在求解等截面问题时，计算效率较高，精度高。求解变截面问题是，精度令人满意。将机舱和风轮简化成集中质量有其合理性。

为控制整个风电机组振动，尤其是避免共振，对整个风电机组振动研究有着重要的现实意义，文章使用的微分求积法对风电机组设计工作有其独特的作用，能大量减少风电机组设计工作者的工作量。同时，该方法还需要在大量仿真与实测的风电机组数据的对比中进行修正，以便得到更精确的结果。

[1]王鑫伟.微分求积法在结构力学中的应用 [J]. 力学进展,1 995,25(2):232-240.

[2]王永亮.微分求积法和微分求积单元法[D].南京:南京航空航天大学, 2001.

[3]倪振华.振动力学[M].西安: 西安交通大学出版社,1986.

[4]李本立,宋宪耕,等.风力机结构动力学[M]. 北京:北京航空航天大学出版社,1999.

[5]顾岳飞.基于有限元分析的风电机组塔架结构正交试验设计[J].风能, 2012(7):78-83.

Analysis of Differential Quadrature Method on Wind Turbine Tower Free Vibration

Wang Qingbo1, Chen Ting2
(1. Dong Fang Electric Machinery Co.,Ltd., Deyang Sichuan 618000, China; 2. Si Chuan College of Architectural Technology, Deyang Sichuan 618000, China)

The vibration of wind turbine tower structure can not only cause the additional stress of the tower, afect the structural strength, but also afect the deformation and vibration of the wind turbine rotor, which afects its performance. Therefore, the analysis and calculation of the wind turbine tower structure dynamics caused by the wind shall be taken into account in the design of the wind turbine. The principle of the diferential quadrature method has been introduced in this paper. The natural frequency of the taper cylinder tower has been computed by this method. Numerical results from this approach are compared with other numerical methods. It is shown that the principle of differential quadrature method is simple, and its computation efficiency is higher, accuracy, and easy to implement on computer.

taper cylinder tower; inherent frequency; diferential quadrature method

TM614

A

1674-9219(2013)12-0114-05

2013-09-29。

王清波（1983-），男，硕士，工程师，主要从事风电机组设计工作。

陈婷（1983-），女，硕士，助教，主要从事高等数学、离散数学、经济数学等教学工作。