HPM在教育中的实然困境与应然向度＊

黄友初

（温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035）

1972年，在英国Exeter召开的第二届国际数学教育大会上成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics），简称HPM。通常，我们把数学史与数学教育的研究统称为HPM。早在19世纪HPM就受到欧美数学家和数学教育专家的关注，20世纪后半期，HPM已成了数学教育研究的一个重要课题。我国对HPM的普遍关注则是在本世纪初，《普通高中数学课程标准（实验）》颁布之后。课程标准将《数学史选讲》作为一个选修序列，并强调要让学生初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神［1］。因此，探索如何在数学教育中融入数学史，为数学教育注入新的元素，提升教育质量，成了当前必须面对和急需解决的一项理论和实践课题。

一、HPM在教育中的实然困境

数学史具有重要的教育价值，它可以促进学生的数学学习，已得到了广大数学教师和数学教育研究者的普遍认可，相关的文献也很多，其中最经典的论述，应该是英国学者John Fauvel所提出的15条理由［2］，以及Tzanakis和Arcavi从数学学习、数学本质和数学活动的发展、教师的教学背景与知识储备、数学情感以及作为文化活动的数学等五个方面所总结的数学史对数学教学的作用［3］。但是，HPM的这种高评价并未带来实践教学中的普遍应用，在实际的数学教学中数学史的应用还比较缺乏，数学史还未能充分彰显其教育价值。

（一）教师教育的缺失

虽然《普通高中数学课程标准（实验）》中赋予数学史重要的地位，但是相关的配套措施并没有随之跟上，一个突出的表现就是在教师教育中HPM的教育还是缺失的。要在教学中融入数学史，教师对数学史必须有必要的了解，但是目前的职前教师教育中，数学史往往是选修课程，这给师范生传递的隐性信息，就是数学史是可有可无的（学生可选也可不选），这些未来教师在思想上对数学史就未能引起足够的重视，将来在教学也就不能主动地将数学史作为重要的教学资源。此外，选修课的课程性质和考核方式也决定了教师在教学过程中未能深入讲解数学的发展历程，师范生在学习过程中不如必修课那样投入，部分学生还抱着应付的态度在听课，未能达到数学史知识的必要储备。

从现有的一些调查研究来看［4］，在职后教师教育中，由于教师工作繁忙或者家庭事务繁多的因素，在参加培训时候未能全身心投入。而且，对职后教师教育的考核力度往往比较松，一些培训课程的学员缺席严重，即使在课堂中听课，部分学员也未能集中注意力听讲，这些都造成了职后的教师教育未能达到预期的效果。更值得一提的是，在职后的教师中，进行数学史和数学教育方面的培训还很少。这说明了在现有的教师教育体系中HPM是缺失的，并由此导致了教师未能正确认识数学史的教育价值，也缺乏必要的数学史知识。因此，教师教育中HPM的缺失，从客观上导致了HPM未能普遍开展。

（二）教育伦理性的迷失

教师作为教学活动的行为主体，要受到教学行为规范的约束，根据行为规范约束的强度和范围，可将教学行为规范分为道德、伦理和法律三个层次。教学行为规范的法律层面约束力最大，约束范围也是最窄的，属于最低的约束层次；道德层面是最高的约束层次，它通过个体的道德修养和人格完善来约束自我的教学行为；而伦理约束介乎两者之间，它指教学行为主体的伦理自觉，是针对教师群体的教学行为规范而言的。［5］教学行为主体违犯了法律规范就会受到相应的法律制裁；违犯了道德规范也会受到相应的道德谴责；而教学行为主体的伦理规范则完全是靠行为主体的自觉，缺乏相应的监督机制和惩戒措施，因此教学的伦理性在教育实践中往往会被认为是可有可无而受到忽视。［6］但是，伦理性却又是教学活动的固有属性，是对教学行为主体的规范和要求的必要条件。在以培养素质为主导的教学中，知识教育是为培养学生的素质服务的，因此忽视教育的伦理性必将导致教育目标的偏离。

当前，在社会功利文化的影响下，教师的教育过程也存在很强的功利性，强调教育的工具价值，以教育为手段而谋求外在的教育价值追求，例如考试分数，而不是教育本身的目的。其实，追求教育的现实价值本无可厚非，但过分强调就变成急功近利，容易忽视教育的本体价值，使得教育背离了本真。为了追求高效，以功利为取向的教育在教学方法上强调死记硬背、急于求成。教师为了快捷、简便、高速，大量运用讲授法进行满堂灌；学生则只能不求甚解地抄笔记、背笔记、机械地重复练习，盲目吸收、消化。［7］这种教学方式表面上虽然能够让学生在较短的时间之内获得大量的知识，教学“效率”很高，但对于学生能力的发展、智力的成长、个性的完善其实是非常不利的。

这些都是在教育功利性的影响下，迷失了教育伦理性的表现。在教学中，为追求教育价值的最大化，教师往往采用最有把握，最“成熟、有效”的教学方式，而不敢轻易越池去尝试其它的教学模式，包括融入数学史的课堂教学模式，有的教师认为在课堂中讲数学史会占据“正常”的上课时间，影响教学效率；有的教师仅在一些课中简单介绍几个数学故事，将数学史看作是学生学习的调味品，而漠视或者轻视数学史的教育价值。因此，教育伦理性的迷失，导致教师在教学实践中在主观上忽视数学史，导致了HPM的缺失。

（三）理论和实践的离失

尽管功利性的教育可以让学生有效的掌握考试所需要的性质、定理，熟练的掌握计算技巧，但是缺乏背景的数学知识，难以激发学生的学习兴趣；形式化而突兀的呈现数学知识，容易让学生认为数学是和现实脱离的，是少数几个天才数学家思维抽象化的结果。学生只能被动、冷漠的学习数学，缺乏热情，长此以往则不但让学生的数学学习变得心力交瘁，而且所学到的数学知识也是静态的，难以内化成数学素养，失去了数学教育的本质目的。一位数学成绩很好的学生在自己的作业后面写道：老师，我实在不知道数学有什么用处，或许是我学的还不够好，还不能领悟！这种现象绝对不会是个案，这是数学教育的顽疾，极大的阻碍了民族数学素养的提高。很多教师也意识到了传统教育所带来的弊端，希望在教学中融入数学史，但是发现他们缺乏必要的数学史知识。即使有的教师学习过数学史或者自学过相关的数学史知识，但是要真正融入数学教学中也往往不知该如何操作，这种现象同HPM理论和实践的离失有很大的关系。

HPM中的数学史不是为历史而历史，也不是为数学而历史，而是为教育而历史，他不同于纯数学史。为了配合知识点的教学，HPM中的数学史往往是以专题史的形式出现，而这是很容易为纯数学史家所忽略，很少能在一般的数学通史著作中完整出现，如：平面概念的历史、角概念的历史、向量概念的历史、均值概念的历史、均值不等式的历史等等，都需要从数学通史著作的各个部分截取相关材料，再整理成相对完整的知识点的专题史。这需要教师能根据教学的需要，在浩瀚的数学史中梳理教育形态的数学史料，经过加工后再融入教学中。另外，在知识点的发展历程中，教师也可以了解到知识点演化过程中出现的难点，及其如何突破，这些历史上知识发生的难点往往也是学生学习过程中碰到的难点，教师可以从历史的发展进程中得到教学启示，设计适当的教学方案，帮助学生突破学习的难点。但是，这些工作如果全部都要任课教师自己完成有点勉为其难，首先是数学史理论上的缺乏，其次就是中小学教师的教学任务十分繁重，很难有足够的时间进行深入的研究工作。

在我国，高等院校的师生和各级教育研究院的研究人员是教育理论研究的主力军，他们具有较好的理论基础，具备科学的研究方法，也是目前HPM理论研究的主要力量。他们具有相对丰富的数学史和数学教育的理论知识，对数学知识的专题史也相对了解。但是，目前教育研究者和教育实践者还是脱离的，HPM的理论和实践两个层面还缺乏合作的条件和空间，这也在客观上导致了HPM未能落实到具体的教学中。

二、发生认识论：HPM的理论基础

发生认识论的创始人是皮亚杰，他以个人的认识过程作为论证的依据，认为个体在与环境的相互作用中，通过同化和顺应的作用，不断构建新的平衡，即个体遇到新的刺激总是试图用原有图式去同化，若获得成功，便能得到暂时的平衡，如果原有图式无法同化环境刺激，个体便会作出顺应，即调节原有图式或重新建立新图式，直至达到认识上的新平衡。皮亚杰研究发现，儿童思维的发展和科学的发展之间存在着类似的过程，科学史上一个历史时期到下一个历史时期的转变的机制类似于主体认识中一个发生阶段到另一个发生阶段转变的机制［8］。这就是所谓的历史发生原理，是数学教学中运用数学史的重要依据，也是HPM研究的理论基础，该原理认为个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似。F·克莱因、庞加莱、波利亚、弗赖登塔尔等都是该原理的支持者。［9］20世纪80年代以来，西方学者对该原理进行了广泛的讨论，并通过实证研究验证了该原理的正确性，及其对数学教学的重要作用。例如E.Harper对英国学生进行测试，发现学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史发展过程（修辞代数—半符号代数—符号代数）具有相似性［10］；J.M.Keiser研究发现，学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的，教材的编写和学生的学习都可以从前人理解角概念的困难性中获得诸多启示［11］；McBride和Rollins通过实验研究发现使用数学史知识的课程在提高学生学习数学的积极性是十分有效的［12］。

因此，数学史可以促进学生的数学学习是具有可靠的理论基础的，它不但可以为学生学习数学提供素材，还能从数学的发展历程中得到教学启示和学习经验。根据发生认识论原理，按照数学史在数学教学中的融入程度的不同，可以将其分为附加式、复制式、顺应式和重构式［13］四种融入类型，如表1所示。

表1 数学教学中运用数学史的方式

这四种类型中的任何一种都有它的适用条件，都能起到不同的作用，因此没有优劣之分，教师可以根据不同的教学内容，不同的学生对象，选择不同的融入方式。就目前来说，附加式的融入方式在教师中比较常见。这种形式对教师的数学史要求较低，也最方便在教学中采用。但是，这种最简单的融入形式显然还不能彰显数学史的教育价值，而且过多的采用附加式教学也容易导致学生的审美疲劳。因此，教师应当在适当的知识点采用其它形式的融入，例如在顺应式和重构式的融入方式中教师可以借鉴历史，让学生深入思考，体验知识点的历史发生过程。这往往能让学生从更深的思维层面感受数学的魅力和文化价值。

三、HPM在教育中的应然向度

在理论上被认为有价值的必定也能在实践中找到它的使用空间，HPM的高评价，必然也能在数学教育中得到高应用，通过教师教育发展HPM，研究者和实践者结合给HPM的发展提供保障，共同构建基于数学史的课堂教学模式是HPM发展的应然取向。

（一）教师教育：HPM发展的内在逻辑

教师教育是教师成长的必经之路，它以教师专业化为目标，社会需求为导向，将教师职前、职后教育一体化与终身化相结合、教师专业性和学科学术性相结合，坚持开放性和多元化，坚持科学发展观和教师教育市场观的辩证统一［14］。在当前流行的教师教育样式，如校本研究、带徒弟式、经验学习、问题导向学习等之中内蕴的一个危险就是忽视教育理论的学习、藐视教育理论的功能、怀疑教育理论的可靠性，这是导致教师教育活动蜕变降格、实践效能萎靡不振的实在原因之一［15］。理论来自经验，但又超越经验，HPM的理论既包含了数学史的知识，也包含了挖掘教育形态数学史料的技能和如何在教学中融入数学史的实践设计，这些理论和技能需要在职前和职后的教师教育中体现。

首先要提升高等院校中数学史课程的地位，将其变为必修课程并增加学时。这不仅可以让师范生有更多的时间来学习数学史，更重要的价值在于向师范生暗示了数学史的地位和价值，隐性的向他们传达了数学史在数学教育中的重要性。同时，课程地位的提升，使得教师和师范生在教与学过程中对该课程都会给予必要的重视。这可以让未来教师对储备必要的数学史知识，具备良好的“嗅觉”，使得将来教学过程中能根据知识点联想起相关的数学史知识。当然，仅有这些是不够的，还需要让教师掌握在浩瀚的数学史料中挖掘某知识点发展历程的能力。因为HPM追求的是教育形态的数学史，需要在数学通史著作中归纳和挖掘教育教学所需要的材料。这种能力也是目前很多教师所欠缺的，需要在职前和职后的教师教育中培养。而视频案例的培训模式的教师教育中一个很好的选择，与文本案例相比，视频案例具有真实性、情境性、丰富性、互动性等特点，它能激发学习者的学习热情，使缄默知识显性化［16］。通过视频案例，给教师展示成功的HPM案例，不但让教师掌握数学史的融入时机和形式，还可以让他们真实感受到数学史带来的良好教学效果，从而激发教师的热情，促使其在今后的教学中尝试融入数学史。

（二）研究者和实践者合作：HPM发展的持续保障

要让HPM持续发展，理论和实践缺一不可，而目前，HPM的理论研究者基本上来自高等院校或者各级教育研究所，他们能较为深刻的理解HPM的内涵，有一定的理论高度，但是他们对中小学数学教学经历比较缺乏。而中小学数学教师具有丰富的教学经验，也是HPM实践的具体执行者，但是他们往往对相关的HPM理论层面还了解不够。因此，要在实践层面深化HPM，研究者和实践者必须密切合作，形成教学研究共同体。这是HPM持续发展的保障，既发挥研究者的理论和研究优势，也可以有效地利用一线教师丰富的教学经验，构建有效的HPM教学模式。

要做到HPM理论研究者和实践者的合作需要建立必要的机制，从制度上促使两者自动合作，就目前来看，以课题研究的模式是比较可行的，通过共同申报课题，在共同的研究中合作。理论研究者运用自身的数学史理论优势，帮助教师开发基于数学史的教学案例，实践者在教学中执行该案例的教学，并反馈师生的课堂感受，通过研究者和实践者的共同努力，提升案例后再次推广该案例的教学。由于教学的持续性，HPM要在实践层面持续开展，研究者和实践者的密切合作是必要的保障。国外在这方面已开展的较好，美国数学教师协会早在1969年就组织数学史家和数学教育家编写了《用于数学课堂的历史话题》，供数学教师使用。可喜的是，近年来国内的一些HPM研究者已经主动和中学教师合作，开发出了很多成功的案例，并取得了良好的效果。但这项工作要持续有效地开展，必须要从制度上给予足够的支持。

（三）构建基于数学史的课堂教学模式：HPM发展的核心表征

要在中小学教师中普及融入数学史的课堂教学，首先要让他们看到这种教学模式在实际教学中产生出良好的效果。榜样示范在中小学是一种十分有效的传播方式，很多中小学教师往往是看到身边的优秀教师的做法或各级“示范课”，并以此为榜样，借鉴并融入自身的教学实际中，形成自己特色的教学风格。因此，榜样具有隐性的“权威性”与“不可质疑性”，树立榜样的意义在于能够使教师通过对榜样的观察，思考其思维方式与行为方式，契合其具体的教学情境，来反思自己的教学，以期形成自己的教学规则。［17］为此，必须在研究者和实践者合作的基础上，构建基于数学史的课堂教学模式，并在个别教师中取得成功后，再发挥其榜样示范的作用，辐射到周围教师中。

教学模式是一种介于教学理论与教学实践之间的中层理论，是理论与实践的中介，一线教师可以在教学模式的指引下，开发具体的适合自身的教学设计。因此，教学模式可以是理论研究者和实践执行者合作的有效成果，构建基于数学史的教学模式是HPM发展的核心表征。在理论研究者和实践执行者的合作下，建立起成熟有效的教学模式，并开发出高质量的教学设计，从而形成基于数学史的成功教学案例。

四、结束语

数学史的教育价值已经得到了包括教育界的普遍认可，在国外和我国的台湾地区的数学教育中融入数学史的现象也很普遍。我们传统的数学教育虽然有其优势，但是也带来了一些弊端，导致教育和教育的本质目标是脱离的。要解决这些问题，提升民族的数学素养，数学史是一个很好的选择。数学的发展具有悠久的历史，很多知识点的产生都经历了曲折的过程，可以给我们的数学教学提供很多有益的素材和借鉴。因此，割裂数学的历史而单纯的进行数学知识的教学是不能取得满意的教育效果的。HPM研究数学史和数学教育的关系，旨在利用数学史为数学教育服务，赋予数学人文意义，提升数学的文化价值，这是新课程所提倡的，也是今后教育发展的方向。克服HPM的实然困境，发挥HPM的应然向度是教育发展的必然趋势。

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