例析二次函数最值问题的错误类型

摘 要： 二次函数的性质与图像是初中数学的重要内容之一，关于二次函数最值问题及其应用也是中考常见题型.本文对这类题型常见的错误进行分析讨论，对症下药，寻找解决策略.

关键词： 二次函数 最值问题 常见错误

有关二次函数的性质与图像是初三升中考试的必考知识点.数学教师在教学中常会有这样的经历，许多学生在解决二次函数最值问题时会反复出现相似的错误.面对这些常见错误，大家可能会用“粗心大意”或是“思维呆板”来解释.但深入分析会发现，这些错误都存在着一定的根源.

课堂上通常会选择大量的相关题型训练来达到巩固知识方法的目的，但效果甚微.笔者认为，消除错误的关键是要帮学生剖析清楚错误的原因.再者，学生训练的题目不在于量多，而需教师精选典型题目，最好是在综合应用时选择一两道能集中反映各类问题的题目，通过对问题的解决让学生有比较整体、综合的认识，从而获得相应的方法技能.下面通过一个具体的例子对学生在解决二次函数最值问题时的常见错误进行探讨.

例：若利用景区内一堵长为24米的墙和一卷长120米的展布围成矩形展览区，怎样设计可使展览区的面积最大？

学生要着手解决这个问题倒不是难事.通常有以下几种解题思路：

正确解答：根据图2的设计，x+（x-24）<120，得x<72，所以x∈[24，72）.展览区面积S=x·（72-x）=-（x-36）2+1296，当x=36时取得最大面积为1296平方米.

按照图1进行设计矩形展览区是由思维定势引起的，根据题意学生不自觉地限定与墙平行的一边AB≤24米，因此有了错误一和错误二.而错误一的另一个典型错误就是由于学生在处理实际问题时常常忘记要结合实际对变量进行讨论.图2的设计则考虑到了其他可能的实际情况，通过计算发现图2的设计能保证展览区取得最大面积.此设计方案同时也说明了“在周长一定的矩形中，正方形的面积最大”这一结论.

数学来源于生活，又应用于生活.新课程标准特别强调培养学生对数学的应用意识，有关实际问题的数学题目也层出不穷，别有新意.然而，即使是学生对数学的概念和原理已熟练掌握，在处理实际问题时由于没能结合具体情况进行讨论仍然会出现各种各样的错误.在实际教学中应重视数学与实际的联系和应用，创设各种与现实生活相关的问题情境，在培养学生解决实际问题能力的同时增强其对数学的应用意识.