如何提高学生感悟数学思想方法的水平

　　《数学课程标准》（2011版）在数学课程目标中明确提出了“四基”，即获得适应社会生活和进一步发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。因此，在课堂教学中应当对数学思想予以特别重视。
　　数学思想方法在学生数学学习中有着十分重要的意义和作用。在小学数学教学中，教师应注意用数学思想引领课堂教学，精心设计每一个环节，关注教学细节，重视学生对数学思想方法感悟水平的提升，为学生的终身发展打下扎实的基础。下面结合教学实践，谈一些自己粗浅的认识。
　　一、在亲历探究中充分感悟数学思想方法
　　数学思想方法与显性的数学知识不同，它往往隐含于知识的发生、发展和应用之中，并与概念的抽象与概括过程、公式的推导与建立过程、规律的发现与归纳过程以及问题的分析与解决过程密切相关、彼此交融。数学思想的体验和领悟，是要以知识为载体，通过潜移默化的手段让其悄悄地扎根于学生的头脑之中，逐步成为一种意识、观念和素质。在教学中，要合理地把学生熟悉的、了解的、感兴趣的数学事例搬进课堂，在对实际问题进行数学化的过程中，让学生经历探究，充分体验数学思想，受到数学理性精神的熏陶，进而使他们对数学思想方法的感悟水平得到提高。
　　案例一：《长方形和正方形的认识》教学片段。
　　教法一：
　　1.依次出示数学书、魔方。提问学生:数学书的封面是什么形状的，魔方的每个面是什么形状的？
　　2.让学生说说:在生活中还见过哪些物体的面是长方形，哪些物体的面是正方形？
　　3.教师在多媒体中播放一些生活中物体的面是长方形或正方形的实物图片。
　　接着教师说明像电视屏幕的面、钟面等都可以用如下简单的平面图形来表示。（电脑隐去实物图片中色彩、图案等非本质因素，呈现出长方形、正方形的几何图形。）
　　4.引导学生用语言描述长、正方形。
　　教法二：
　　1、2两步同教法一。
　　3.教师在多媒体中播放一些生活中物体的面是长方形或正方形的实物图片。
　　4.先让学生观察上面实物图片的面，四周有几条边框，再让学生制作一个长方形和正方形（①用小棒搭一个长方形；②在钉子板上围一个正方形）；在方格纸上画一个长方形和正方形。
　　5.引导学生比较：制作的长、正方形和画出的长、正方形哪种简洁，你喜欢用哪种表示。
　　6.教师用课件把用小棒搭的、在钉子板上围成的和在方格纸上画的长、正方形搬到电脑屏上，隐去具体实物元素（小棒、钉子板、方格等），呈现出抽象的长、正方形的几何图形。
　　7.引导学生用语言描述长、正方形的几何图形。
　　8.学生举例说说，实际生活中哪些物体的面的形状也可以用这样的几何图形来表示的。
　　《数学课程标准》认为，学生空间观念的形成的主要表现是：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。空间观念的形成过程，就是学生亲历从现实情境抽象出有关几何概念的数学化的建模过程。教法一能够利用生活中的实例和多媒体辅助手段，帮助学生建立长方形、正方形的几何图形概念。但是，剖析其过程，不难发现，教学中只是在观察实物面的形状的层次上，采用多媒体手段来揭示长方形、正方形的概念。这样的过程给予学生的体验是不丰富的，也是不充分的，对于建模思想的感受是肤浅的。学生的认识水平只是停留在知道什么样的图形是长方形、正方形上。由于学生没有得到连续、渐进的思维活动的机会，因此也必然会影响学生抽象思维能力的发展。
　　从现实情境中抽象出平面几何图形的建模过程，要依托具体实物的形状，在学生亲历操作实践的活动中，经过抽象和形式化的过程，使他们真正体验平面几何图形的建模过程。教法二中按实物的面（或实物图）——制作（或画）长、正方形——抽象出长、正方形几何图形——生活中的长、正方形的方法进行教学。在出示生活中的实物图片后，引导学生开展对实物图片中图形边界的观察活动，并借助学生在低年级获得的直观经验，请学生用小棒搭建一个长方形，在钉子板上围出一个正方形，在方格纸上画出长、正方形，再用课件把学生制作和画出的长、正方形搬上屏幕，接着把边缩成一条线段，抽象出长、正方形。最后，再回到生活实际中，学生举例说说还有哪些实物的面也可以用长、正方形来表示。这样的教学，充分发挥了学生动手制作长、正方形等操作活动的纽带作用，学生亲历和体验到了实物面的形状与几何图形之间的相互抽象、转化的认识过程，充分感悟到了数学建模思想，帮助学生实现直观思维与抽象思维的有效沟通，实现对知识意义的主动构建。
　　二、在不断拓展中逐步感悟数学思想方法
　　数学思想方法蕴涵于数学知识和内容中，又高于具体知识和内容的理性认识。数学思想方法感悟水平的提升必须依赖于知识的发生、发展和应用过程，依赖于抽象、概括和归纳等思维过程。学生对数学知识的获取不是一步到位的，而是一个在不同阶段，从不同角度、不同层次逐步丰富认识、加强理解的过程。所以，学生对数学思想方法的感悟水平的提升也不可能一蹴而就，而是要经历逐步丰富、逐步拓展、逐步逼近的动态发展过程。教学时，要从学生的认知规律和年龄特点出发，提出合理的教学要求，从数学课程的整体着眼，在适当的时期呈现恰当的教学内容，采用有效的教学方式，不断提高他们对数学思想方法的感悟水平。
　　例如，在小学数学教学中渗透函数思想，就要注意教学安排的递进性。小学生由于受自身知识水平、认知能力和思维水平的局限，他们对函数思想的感悟往往也需要经历从模糊到清晰、从具体到抽象、从初步理解到简单应用的过程。
　　第一层次，从探究静态的常量之间关系的过程中感悟“变化与对应”思想。
　　1.在教学加减法时，可结合例1、例2等题的教学，让学生知道，同一个数加或减不同的数得到不同的结果。
　　例1 苏教版一年级上册：
　　例2 苏教版一年级下册：
　　2.在教学乘除法时，可结合教材安排如下一些题的教学，让学生知道，同一个数乘或除以不同的数（0除外）得到不同的结果。
　　例3 苏教版三年级上册：小红家养了5匾蚕，平均每匾能收180个蚕茧。你能把下表填写完整吗？
　　观察上表，你有什么发现？
　　例4 苏教版四年级上册：王大伯准备围一块360平方米的长方形地种植树苗。如果长方形地的长为90米，宽应该是多少米？如果长分别是60米、40米、30米或20米呢？
　　观察上表，你有什么发现？
　　3.在探索积的变化规律或商不变规律的过程中，让学生认识到：什么情况下，积或商不发生变化，什么情况下积或商发生变化，怎样变化，注意从中渗透变化与对应思想。
　　4.在“用字母表示数”的教学中，让学生体会“字母取一个值，含有字母的算式就有唯一确定的值”。
　　5.在数量关系的教学中，根据“总价、单价与数量”等常用的数量关系，让学生初步发现“其中一个数量确定时，另外两个数量之间所存在的对应关系”。
　　函数概念的核心内容是变化和对应，函数思想的基础是变量思想。在渗透函数思想之前，基于小学生不同阶段不同的认知水平，必须不断地渗透变量思想的教学，并做到适度推进，在不断的感悟中强化他们的变量意识。
　　第二层次，在探究动态的变量之间关系的过程中感悟函数思想。
　　如在教学《正、反比例》时，根据小学生的认知特点，掌握概念应从典型、丰富的具体例子出发，通过对提供的实例，结合学生的实际，采用文字、表格和图像等多元联系表示，让学生经历“知识的发生和发展过程”，为学生提供独立概括概念的机会，经历分析、综合、比较，从而概括出正、反比例概念“单值对应”的本质属性。学生在更深的层面上理解变化与对应的思想，从而促进他们对函数思想的领悟。
　　由此可知，学生对数学思想方法的感悟，在不同的学习阶段有着不同的层次水平。教学中，必须遵循规律、把握特点、有序推进，才能使他们对数学思想方法的感悟逐步深化，进而提升自身的数学素养。
　　三、在思维训练中深刻感悟数学思想方法
　　数学是人类思维的结晶，它具有高度的抽象性和严密的逻辑性。学习数学需要通过思维去理解数学知识的实质。开展合理的思维活动依赖于科学的思想方法，因为数学思想方法是学生形成思维能力、分析和解决问题能力以及创新精神和实践能力的重要基础。数学思维能力的提升和数学思想方法的感悟是密不可分的。在教学时，要设计优质的数学思维训练活动，引导学生多角度、多层次、有个性地思考问题，提高他们对数学思想方法的感悟水平。
　　案例二 在教学两位数乘一位数时，安排训练题：从1～9的数字中选择三个数字组成两位数乘一位数的算式，找出积最大以及积最小的算式，探索其中的规律。
　　教学过程：
　　1.让学生自己任意找三个数字，先组成六个算式，并算出结果。（如选1、2、3三个数，算式：21×3＝63，23×1＝23，12×3＝36，13×2＝26，32×1＝32，31×2＝62；选3、5、8三个数，算式：35×8＝280，38×5＝190，53×8＝424，83×5＝415，58×3＝174，85×3＝255等）
　　2.请学生观察、比较，找出积最大的算式以及积最小的算式（如21×3，23×1，53×8，58×3等）。
　　3.引导学生猜想：积最大或最小的算式的数字排列有什么规律？
　　4.引导学生验证。验证一：选择连续的3个数字为例，进行计算验证；验证二：①选择不连续的三个数字为例进行计算、验证；②用扩倍法验证，如用1、2、3三个数字。组成积最大的算式21×3，积最小的算式23×1，进而选择2、4、6这组数字，把这三个数字分别与1、2、3对应，迅速写出积最大的算式是42×6，积最小的算式是46×2。
　　5.总结归纳：积最大的算式以及积最小的算式的数字排列规律。
　　6.请学生根据规律，再任意选三个数写出积最大的算式和积最小的算式，并进行计算。
　　把计算教学活动与探索规律结合起来，探索的问题有挑战性，对学生才有吸引力。基于对数与数、式与式之间关系的思考，在把运算从“逐个计算”的机械操作变成有思维含量的“组块计算”的过程中，为学生提供了创造性地解决问题的机会，促进学生开展高质量的思维活动。同时，对于数字排列规律的探索过程，又成为“猜想—验证—建模”的过程，学生经历了不完全归纳得出某一结论的过程，使这些代表性例证所反映出的规律转化为命题本身所具有的一般规律。可以说，学生经历了有效的建模探究活动，积累了宝贵的数学活动经验，积淀了数学思想。另外，学生在运用规律写出符合要求的算式时，把任意选择的三个数字如何进行组合，也体现了分类思想。运用这样的教学策略，学生不仅能积极参与到数的运算的学习活动中去，计算技能得到良好训练，思维进一步得到激活，他们对数学思想感悟的水平也得到提