基于分数跳扩散过程的欧式双向期权定价

胡素敏，周圣武

（1.河南城建学院数理系，河南平顶山 467036；2.中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008）

基于分数跳扩散过程的欧式双向期权定价

胡素敏1，周圣武2

（1.河南城建学院数理系，河南平顶山 467036；2.中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008）

应用风险中性原理研究基于分数跳扩散过程的欧式双向期权定价，推导出标的资产价格服从分数跳扩散过程的欧式看涨期权、看跌期权及欧式双向期权的定价公式。

定价；欧式双向期权；分数跳扩散过程

期权定价问题是金融数学和金融工程学研究的核心问题之一。在以往的期权定价中，人们普遍假设标的资产价格服从几何布朗运动，它是连续的随机过程，而在金融市场上，一些重要信息的出现会刺激股票价格发生不连续的跳跃，因此股票价格应包含连续扩散过程和不连续的跳跃过程。在几何布朗运动下，资产价格变化是相互独立的随机变量，资产收益率服从正态分布。而近年来对股票市场的研究表明，股价变化不是随机游走，而是呈现不同程度的长期相关性，分数布朗运动恰好具有这些优点［1］，因此用分数布朗运动刻画资产价格的变化，更符合实际情况。

自引入分数布朗运动以来，国内外出现了大量的相关研究。NECULA研究了分数布朗运动环境下的期权定价［2］，ROGERS研究了分数布朗运动下的套期保值［3］，周圣武等研究了分数布朗运动环境下的幂期权定价［4］。笔者在以往研究的基础上建立分数跳扩散下的股票模型，在此基础上应用风险中性原理研究分数跳扩散过程的欧式双向期权定价，推导了资产价格服从分数跳扩散过程的欧式看涨期权、看跌期权及欧式双向期权定价公式。

1 股票价格的分数跳扩散行为

研究分数跳扩散过程下欧式双向期权的定价问题，需要作如下假设。

H1）股票价格ST遵循Ito过程［5］：

式中：r是无风险利率；λ（λ＞0）是跳跃强度，表示1年中股票价格的平均跳跃次数；qt是一个强度为λ的Poisson计数过程；k＝E（U）；dqt是描述St发生跳跃的点过程，当股票价格发生跳跃时dqt＝1，否则dqt＝0。为分数布朗运动。应用Ito公式解随机微分方程（1），可得股票价格的对数过程lnSt所满足的常系数随机微分方程：

解随机微分方程（2），并应用Poisson过程的性质qT－qt＝qτ（τ＝T－t），可得T时刻股票价格ST的概率分布：

其中τ＝T－t，Un表示股票价格在第n个跳跃时刻tn的跳跃幅度，并假设U1，U2，…，Un是一列独立同分布的随机变量。应用全期望公式可得股票价格在T时刻的数学期望。为表述方便，将沿用MERTON的假设［6］。

H2）假设U，qt，Wt相互独立，且1＋U服从对数正态分布，

而且由U，qt，Wt相互独立，可知Z1，Z2也相互独立。

由式（3）和式（5）以及正态分布的可加性可知，当qτ＝n时，存在标准正态随机变量Zn～N（0，1），使得

2 无红利支付的欧式双向期权定价

欧式双向期权是指期权持有者可以在未来某T时刻以规定的价格K买进或卖出某指定标的资产，且标的资产价格满足随机微分方程（1），由于在T时刻欧式双向期权的权益为

即欧式双向期权的终端收益可以分解为具有相同到期时刻和相同执行价格的同一种标的资产的一个买入期权的终端收益和一个卖出期权的终端收益之和。

在推导欧式双向期权定价的过程中，需要用到下列基本假设［6－7］：1）标的股票价格服从跳扩散过程，且满足随机微分方程（1）；2）无风险利率r是常数；3）标的股票价格的波动率σ是常数；4）不存在交易费用；5）在期权的有效期内标的股票无红利支付；6）不存在无风险套利机会。

根据风险中性定价原理，在风险中性概率测度Q下，标准欧式股票看涨期权在当前t（t＜T）时刻的价值为其中EQ表示在风险中性概率测度Q下的数学期望。

定理1 标的股票价格St服从分数跳扩散过程（1），执行价格为K的标准欧式看涨期权在t时刻的价值为

证明 在风险中性概率测度Q下，根据风险中性定价原理，应用全期望公式，可得欧式看涨期权在t时刻的价值为

定理2 标的股票价格St服从跳扩散模型（1）、执行价格为K的标准欧式看跌期权在t时刻的价值为

其中符号同定理1，证明过程与定理1类似（略）。

定理3 标的股票价格St服从分数跳扩散模型（1）、执行价格为K的欧式双向期权在t时刻的价值为

［1］ 谢和平.分形应用中的数学基础与方法［M］.北京：科学出版社，1997.

［2］ NECULA C.Option pricing in a fraction brownian motion environment［J］.Pures Mathematica，2002，2（1）：63－68.

［3］ ROGERS L C G.Arbitage with fractional Brownian motion［J］.Mathematical Finance，1997，7（1）：95－105.

［4］ 周圣武，刘海媛.分数布朗运动环境下的幂期权定价［J］.大学数学（College Mathematics），2009，25（5）：69－72.

［5］ 黄志远.随机分析学基础［M］.北京：科学出版社，2001.

［6］ MERTON R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous［J］.Journal of Financial Economics，1976（3）：125－144.

［7］ BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973，81（3）：637－654.

［8］ 董跃武.欧式双向期权的定价问题［J］.上海铁道大学学报（Journal of Shanghai Tiedao University），1999，20（6）：71－73.

Pricing of European bi－direction option based on fractional jumping diffusion process

HU Su－min1，ZHOU Sheng－wu2
（1.Department of Physics and Mathematics，Henan Univesity of University Construction，Pingdingshan Henan 467036，China；2.College of Sciences，China University of Mining and Technology，Xuzhou Jiangsu 221008，China）

The pricing of European bi－direction option when the underlying assets follows fractional jump diffusion is mainly studied.By using the risk neutral valuation principle，the pricing formula of standard European call option，put option and European bi－direction option are obtained when the underlying stock price is depicted by fractional jump diffusion process.

pricing；bi－direction european option；fractional jumping diffusion process

O211.6

A

1008－1542（2012）03－0207－03

2012－02－05；责任编辑：张 军

国家自然科学基金资助项目（70701017）；河南省科技计划资助项目（112400450212）；河南省教育厅自然科学研究资助项目（2011A110002）

胡素敏（1982－），女，安徽宿州人，硕士研究生，主要从事金融数学方面的研究。