机械臂位置跟踪自适应反演滑模控制律设计

席雷平，朱一鸣，李小民，张华英

（1.军械工程学院光学与电子工程系，河北石家庄 050003；2.华北电力大学能源与动力工程学院，北京 102206；3.石药集团中诺药业（石家庄）有限公司，河北石家庄 050041）

机械臂位置跟踪自适应反演滑模控制律设计

席雷平1，朱一鸣2，李小民1，张华英3

（1.军械工程学院光学与电子工程系，河北石家庄 050003；2.华北电力大学能源与动力工程学院，北京 102206；3.石药集团中诺药业（石家庄）有限公司，河北石家庄 050041）

针对机械臂位置跟踪控制问题，设计了一种新型自适应反演滑模控制律。该方法利用机械臂各关节的位置和速度误差建立了滑模面函数，并根据反演原理设计了反演滑模控制律。然后，通过设计合适的自适应律对外部扰动进行在线补偿，降低了系统对外部扰动的敏感性，有效地抑制了系统的抖振。最后利用Lyapunov定理证明了系统的稳定性。仿真结果说明该控制律具有较好的控制性能。

机械臂；反演滑模控制；自适应；抖振

机械臂作为一类非线性系统，具有强耦合、时变、模型不确定等特点，而且在实际控制中会受到内部结构参数变化和外部干扰等因素的影响。滑模控制和反演控制由于对系统的不确定性具有强鲁棒性，因此被广泛应用于该类控制系统中［1］。滑模控制对于模型参数的不确定性具有强鲁棒性，但是存在“抖振”问题［2］。反演控制是一种针对控制对象的变化和环境干扰影响而提出的控制策略［3］，它采用反复选择合适的状态空间函数作为控制输入，通过迭代、反推和Lyapunov函数的优化，进而完成整个控制器的设计。将滑模控制与反演控制相结合，既可以简化反演控制的设计，又可以增加系统对非匹配不确定性的鲁棒性，因而受到了学者们的关注［4－5］。

笔者针对机械臂系统位置跟踪鲁棒性的要求，考虑外加干扰及系统不确定性等因素的影响，设计了机械臂自适应反演滑模控制律。该控制律融合了滑模控制和反演控制的优点，对机械臂的外部扰动信号进行了在线补偿，降低了系统对外部扰动的敏感性，有效抑制了系统的抖振，并具有良好的全局稳定性和跟踪特性。

1 机械臂动力学模型

基于拉格朗日运动学建立的n关节机械臂的动态方程为［6］

式中：q∈Rn分别为位置矢量、速度矢量和加速度矢量；M（q）∈Rn×n为正定惯性矩阵；C（q，˙q）∈Rn×n为离心力和哥氏力矩阵；G（q）∈Rn为作用在关节上的重力项矢量；u∈Rn为关节控制力矩；f∈Rn是外部扰动信号，具体包括建模误差、参数变化以及其他不确定因素。

图1 两关节机械臂结构图Fig.1 Diagram of two degrees of freedom robotic manipulator model

对于两关节机械臂，其结构如图1所示。

图1中，m1和m2分别为连杆1和连杆2的质量，且以连杆末端的点质量表示；l1和l2分别为连杆1和连杆2的长度；q1和q2为关节角度；g为重力加速度。

根据拉格朗日方程建模方法［7］推导出两关节机械臂动力学模型的相关参数为

2 自适应反演滑模控制器设计

2.1 反演滑模控制器设计

为进行系统设计，对系统进行必要的假设。

假设1：输入指令qd及其n阶导数是存在且有界的。

假设2：外部扰动信号f是有界的，且上界fU是未知的，且｜f｜＜fU。

在机械臂系统满足假设1和假设2的前提下，参考文献［8］和文献［9］中反演控制器的设计思想，并结合滑模控制的相关理论，对机械臂反演滑模控制器进行了设计，具体包括2个步骤。

步骤1 将系统的控制输出误差向量z1定义为

对式（2）进行求导，可得

定义Lyapunov函数：

取虚拟控制量α1＝c1z1，其中c1∈Rn×n为对称、正定常值矩阵。定义

由式（4）和式（5）可以得到

式（6）中，如果z2＝0，则为系统的控制输出误差向量z1的二次型函数，有≤0，因此，需要进行下一步设计。

步骤2 对式（5）进行求导，可得

由机械臂的数学模型式（1）可知：

由式（7）和式（8）可以得到：

定义Lyapunov函数：

其中s为滑模面函数，其定义为

式中k1∈Rn×n为对称、正定常值矩阵。

对式（10）进行求导，可得

2.2 自适应律设计

在实际机械臂控制系统中，外部扰动信号f是很难预知的，为了避免采用f的上界问题，在上述机械臂反演滑模控制器设计的基础上，运用自适应控制的相关理论对机械臂的外部扰动信号进行补偿，以满足到达条件。

在前面反演滑模控制器设计的基础上，采用自适应算法对外部扰动信号f进行预估。定义为未知不确定项f的估计值，则估计误差为

在式（10）的基础上，定义Lyapunov函数为

式中γ为一正常数。

对式（14）进行求导，可得

根据式（15），并参考文献［10］，设计自适应反演滑模控制律如下：

式（16）中，ueq为等效控制，uvss为切换控制，用于对不确定项和扰动进行补偿，以满足到达条件。h∈Rn×n为对称、正定常值矩阵，β为正常数。

自适应律设计为

2.3 稳定性分析

将式（16）—式（19）代入式（15），可得

式（20）可以写成如下形式：

通过适当选取常值矩阵c1，k1和h，可保证P为正定矩阵，从而保证≤0。通过上述自适应反演滑模控制器的设计，使得系统满足Lyapunov稳定性理论条件，z1和z2以指数形式渐近稳定，从而保证系统具有全局意义下指数的渐近稳定性，即保证了机械臂各关节能够按照期望轨迹进行运动。

3 系统仿真

选取两关节机械臂为控制对象，利用Matlab软件对其轨迹跟踪性能进行仿真研究。已知两关节机械臂的系统参数：m1＝1kg，m2＝2kg（包含负载），l1＝1m，l2＝0.8m，两关节的期望运动轨迹为qd1＝qd2＝0.8×sin（0.5πt）rad，系统初始条件q（0）＝［0.5 －0.5］T，˙q（0）＝［－0.3 0.3］T。取γ＝3，β＝2，c1＝diag（5，5），h＝diag（1，1），k1＝diag（3，3）。

外部干扰信号定义为

采用常用的反演滑模控制律（外部扰动信号f的上界fU的估计值取为3N·m）和本文设计的自适应反演滑模控制律对机械臂的轨迹跟踪控制性能进行仿真。图2和图3是分别采用2种控制策略得到的仿真实验结果。

图2 机械臂反演滑模控制律仿真曲线Fig.2 Robotic manipulator simulation curves based on backstepping sliding mode control law

图3 机械臂自适应反演滑模控制律仿真曲线Fig.3 Robotic manipulator simulation curves based on adaptive backstepping sliding mode control law

从图2和图3中可以看出，在系统存在建模误差和外部干扰的情况下，传统的反演滑模控制和本文设计的自适应反演滑模控制在机械臂关节角位置跟踪性能上差别较小，自适应反演滑模控制略好于反演滑模控制；但在抖振消除上，笔者设计的自适应反演滑模控制的效果明显优于反演滑模控制，说明该控制律对于外界扰动具有较好的鲁棒性。

4 结 语

针对带有建模误差和干扰的机械臂系统，设计了自适应反演滑模控制律，并构造了Lyapunov函数，证明了控制系统的稳定性。针对系统控制中外界扰动的不确定上界问题，采用自适应方法对其进行在线补偿，降低了系统对外部扰动的敏感性，削弱了系统的抖振。仿真实验结果验证了该控制律的有效性和可行性。

［1］ 高为炳.变结构控制的理论及设计方法［M］.北京：科学出版社，1996.

［2］ 柴华伟，马大为，李志刚，等.交流伺服系统最优内模滑模控制器设计与应用［J］.南京航空航天大学学报（Journal of Nanjing University of Aeronautics ＆Astronautics），2007，39（4）：510－513.

［3］ 张 鹏，李颖晖，肖 蕾.基于递归神经网络的伺服系统自适应反步控制［J］.系统仿真学报（Journal of System Simulation），2008，20（6）：1 475－1 478.

［4］ 刘正华，尔联洁，吴森堂.基于自适应反推滑模控制的虚拟转台样机研究［J］.宇航学报（Journal of Astronautics），2006，27（5）：920－924.

［5］ 朱 凯，齐乃明，秦吕茂.BTT导弹的自适应滑模反演控制设计［J］.宇航学报（Journal of Astronautics），2010，31（3）：769－773.

［6］ 刘金锟.机器人控制系统的设计与MATLAB仿真［M］.北京：清华大学出版社，2008.

［7］ 蔡自兴.机器人学基础［M］.北京：机械工业出版社，2009.

［8］ KRSTIC M，KANELLAKOPOULOS I，KOKOTOVIC P V.Nonlinear and Adaptive Control Design［M］.New York：Wiley Interscience，1995.

［9］ QIAO J H，DAI Y P.Robust adaptive fuzzy output tracking control of uncertain robot system using backstepping design［A］.Proceedings of the 26th Chinese Control Conference［C］.Zhangjiajie：［s.n.］，2007.302－308.

［10］ 席雷平，郭 辉，何 东.基于饱和函数的机械臂模糊滑模趋近律设计［J］.河北科技大学学报（Journal of Hebei University of Science and Technology），2011，32（5）：482－487.

Adaptive backstepping sliding mode controller design for robotic manipulator position tracking

XI Lei－ping1，ZHU Yi－ming2，LI Xiao－min1，ZHANG Hua－ying3
（1.Department of Optics and Electrics Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang Hebei 050003，China；2.Department of Energy and Power Engineering，North China Electric Power University，Beijing 102206，China；3.Zhongnuo Pharmaceutical（Shijiazhuang）Company Limited，CSPC，Shijiazhuang Hebei 050041，China）

A new method of adaptive backstepping sliding mode controller for robotic manipulator position tracking is introduced.The sliding surface is gained by using the position errors and velocity errors of robotic manipulator joints，and then the backstepping sliding mode controller is designed based on backstepping theory.Furthermore，an adaptive law is proposed to compensate automatically the external disturbance，so as to reduce the control system＇s sensitivity to disturbance and control the chattering effectively.At last，the system stability is proved by Lyapunov principle.The simulation result shows better performance.

robotic manipulator；backstepping sliding mode control；adaptive；chattering

TP273

A

1008－1542（2012）03－0253－05

2011－10－22；责任编辑：李 穆

军队重点实验室建设项目；军械工程学院校立基金资助项目（YJJXM11015）

席雷平（1979－），男，河北邯郸人，讲师，博士研究生，主要从事无人系统自主控制与导航方面的研究。