Riemann Zeta函数ζ（2n+1）的2个新的表达式

黄炜

（宝鸡职业技术学院基础部，陕西宝鸡 721013）

Riemann Zeta函数ζ（2n+1）的2个新的表达式

黄炜

（宝鸡职业技术学院基础部，陕西宝鸡 721013）

主要研究了ζ函数的表示形式，通过初等及解析的研究方法，给出了关于Riemann Zeta函数ζ（2n+1）的2个新的表达式.

Riemann Zeta函数;初等及解析方法;级数和;收敛

1 引言与结论

并加以证明，式中n为自然数，p为素数.表明当Re（s）＞1时二者的值一致，关于这一问题，不少学者作了研究，文献［2－8］分别研究了k=3，5和k=4，6，7的特殊情况，文献［5］获得了一个一般性的结论，即当s为正偶数时，有Euler经典公式

其中B2n为Bernoulli数.

当s为正奇数时有Ramanujan公式

其中，n是任意正整数，αβ=π2，（α＞0，β＞0）.

本文利用初等及解析方法，逐步推出ζ（2n+1）的2个递推公式，得到了关于Riemann Zeta函数ζ（2n+1）的2个表示式.

定理 设n是任意正整数，则

其中，ζ（n）是Riemann Zeta函数，当n分别取1，2，3时由式（4）有:推论 设k，n是任意正整数，则

2 2个引理

为了证明定理需要下面的引理:

于是对k+1时命题也成立，因此命题对任何自然数k都成立.

3 定理的证明

4 几点注记

1）式（4）及式（5）说明ζ（2n+1）可表示为π2n－1的有理数倍与2个收敛较快的级数之和，的确式（4）及式（5）是式（2）的自然类比.

2）根据文献［8］，式（4）及式（5）不仅在理论上为研究ζ（2n+1）建立了有价值的2个新的表达式，而且在计算ζ（2n+1）的近似值方面提供了2个新的有用的公式。特别利用MATLAB软件等高速快捷的计算通道，即可得到需要的近似值.

［1］SRIVASTAVA H M，CHOI J S.Series Associated with The Zeta and Related Functions［M］.London:Kluwer Academic Publishers，2001.

［2］KANEMITSU S，TSUKADA H.Vistas of Special Functions［M］.London:World Scientific，2007.

［3］LI Hai-long，TODA M.Elaboration of some results of Srivastava and Choi［J］.Journal of Analysis and Application，2006（25）: 517－533.

［4］KOSHLYAKOV N S.Investigation of some questions of analytic theory of the rational and quadratic fieldsⅡ（Russian）［J］.Izv.Akad.Nauk SSSR，Ser.Mat.，1954，18:213－260.

［5］LI Hai-long.On generalized Euler constants and an integral related to the Piltz divisor problem［J］.Siaulai Math.Phys.Sem.，2005，8:81－93

［6］张文鹏.关于Riemann zeta-函数的几个恒等式［J］.科学通报，1991，36（4）:250－253.

［7］SANKARANARYANAN A.Indian［J］.Pure Appl Math，1987，18:794－800.

［8］高军.收敛的p-级数和的进一步估计［J］.数学通报，1991（11）:36－37.

Two New Formula for the Riemann Zeta-function ζ（2n+1）

HUANG Wei

（Department of Basis，Baoji Vocational and Technical College，Baoji 721013，China）

In this paper，the representations for the ζ-function were studied，and two new formula for Zeta-function ζ（2n+1）were obtained with the methods of the elementary and analytic.

Riemann Zeta function;elementary and analytic methods;sum of series;convergence

O 156.4

A

1004－1729（2012）01－0001－06

2011－07－01

国家自然科学基金资助项目（10671155）;陕西省自然科学基金资助项目（SJ08A22）

黄炜（1961－），男，陕西岐山人，宝鸡职业技术学院基础部教授，硕士.