数学娱乐(十)——学习《九章算术》的收获

耿 济

(海南大学，海南 海口 570228)

数学娱乐(十)
——学习《九章算术》的收获

耿 济

(海南大学，海南 海口 570228)

学习《九章算术》的勾股形获得代数方程一定理以及在不定方程上的应用.

勾股形;代数方程;不定方程

本文是数学娱乐系列文献［1－9］的续作.

笔者学习《九章算术·勾股》第12题的解法发现下述方程

这里奇数n≥3，整数a＞0，b＞0，获得代数方程正根一定理以及在不定方程上的应用.

1 已知结果与证明

根据本文的需要引用了笔者1989年的2个结果［10］，并重新加以证明.

结果1(惟一性) 整数m≥2，整数a＞0，b＞0，函数fm(u)=(u+a+b)m－(u+a)m－(u+b)m，定义区间(0，+∞)，那么fm(u)在区间(0，+∞)上存在惟一的点u=um，使得fm(um)=0;又fm(u)在区间(0，um)上处处正值，在区间(um，+∞)上处处负值.

证明 当m=2时，简化f2(u)=－u2+2ab，在(0，+∞)上存在惟一的点u2=(2ab)1/2，使得f2(u2)=0;又f2(u)在(0，u2)上处处正值，在(u2，+∞)上处处负值，结果1成立.

假设m≥2时结果1成立，求证m+1时结果1也成立.

函数fm+1(u)求导得到

已知fm(u)在(0，um)上处处正值，就有fm+1(u)在(0，um)上单调增加;fm(u)在(um，+∞)上处处负值，又有fm+1(u)在(um，+∞)上单调减少，由于fm(um)=0，所以fm+1(u)在(0，+∞)上有极大值fm+1(um).

分析fm+1(u)在(0，+∞)上的端点极限值

所以fm+1(u)在(0，+∞)上有极大值fm+1(um)＞0.

综上所述，fm+1(u)在定义区间(0，+∞)上的图形;fm+1(u)在(0，um)上单调增加，处处正值;在(um，+∞)上单调减少，从正值变为负值，此时(um，+∞)中存在惟一的点u=um+1使得fm+1(um+1)=0，而且um+1＞um＞… ＞u2＞0.所以fm+1(u)在(0，um+1)上处处正值，在(um+1，+∞)上处处负值，存在惟一的点u=um+1，使得fm+1(um+1)=0，结果1证明完毕.

结果2(计算法) 整数m≥2，整数a＞0，b＞0，函数fm(u)=(u+a+b)m－(u+a)n－(u+b)m，数列

这里的极限值正是结果1中的u2=(2ab)1/2，所以f2(u2)=0，结果2成立.

当m ＞2时，证明分3步骤进行.

步骤1 证明数列{xk}有上界.

当k=1时，数列x1=0;又从结果1的证明过程中知道um＞0，得到x1＜um.

假设xk＜um，求证xk+1＜um.

应用数学归纳法证明时，首先考虑um适合fm(um)=0，然后得到

所以um＞xk+1，得出数列{xk}有上界.

步骤2 证明数列{xk}是单调增加.

现在叙述简单而正确的4件事情:

1° 数列{xk}中除去x1=0外，其余各项xk＞0;

2° 数列{xk}有上界um＞0;

3° fm(u)在区间(0，um)上处处正值;

4° xk+1=［fm(xk)+］1/m，k ＞ 1.

从1°与2°得到当k＞1时，0＜xk＜um，即xk是区间(0，um)中的一点;再从3°得到fm(xk)＞0，代入4°就有xk+1=［fm(xk)+xmk］1/m＞xk，所以数列{xk}是单调增加.

步骤3 已知数列极限存在准则是数列单调增加有上界.现在数列{xk}是单调增加有上界，极限值记为 A，即xk=A.

最后对等式xk+1［fm(xk)+xk］ 两边同时取极限得到A=［fm(A)+A］ ，化简就有fm(A)=0，从结果1知道A=um，所以xk=um.结果2 证明完毕.

2 代数方程正根一定理

奇数n≥3，整数a＞0，b＞0，代数方程(u+a)n+(u+b)n=(u+a+b)n，从结果1知道方程存在惟一的正根.

现把上述关系通过图形表示出来:

如果把确定法则记为gn(，)，根据函数概念得出一个函数u=gn(a，b).

例 试求g3(a，b)的表达式.

解 当n=3时，方程简化得到

观察 g3(a，b)具有下述性质［9］:

1° g3(a，b)是a，b的一次齐次对称函数;

2° g3(a，b)又是变量a+b，ab的函数;

3° g3(a，b)含有变量ab的因式(ab)1/3，但不含有变量a+b的因式;

4° g3(a，b)不可能为正整数.

通过g3(a，b)的性质启发探讨gn(a，b)相应的一般性质.

性质1 奇数n≥3时，函数gn(a，b)是a，b的一次齐次对称函数.

证明 奇数n≥3，函数fn(u)=(u+a+b)n－(u+a)n－(u+b)n，数列

数列{xk}中的a换成 b，b换成 a，显然gn(a，b)=gn(b，a)，所以 gn(a，b)是对称函数.

数列{xk}中的a换成λa，b换成λb，这里任意整数λ ＞0时，得到的新数列{xk′}，两者之间的关系x′k=λxk，所以gn(a，b)是一次齐次函数，性质1证明完毕.

性质2 奇数n≥3，整数a＞0，b＞0，以及a+b=p，ab=q时，对于函数gn(a，b)而言，存在另一函数 hn(p，q)，且 gn(a，b)=hn(p，q).

证明 (u+a)n+(u+b)n=(u+a+b)n，应用二项式定理展开，合并同类项得到再应用等价二项式定理 展开后，把a+b=p，ab=q代入，就有

由此可知，a+b=p，ab=q时，得到 gn(a，b)=hn(p，q).所以性质2 成立.

性质3 奇数 n ≥3，整数 a ＞ 0，b ＞ 0，α1，α2，α3，…，αn为方程(u+a)n+(n+b)n=(u+a+b)n的n个根，就有

最后，为了计算上式的结果，分成3部分进行计算，计算过程中注意n≥3的奇数.

第1部分

采用上述类似方法，得出数列第k项

以上两者之间的关系:s1是t1的因式，s2是t2的因式，s3是t3的因式.

例 当n=3时，验证性质5成立.

解 当n=3时，简化方程就有

通过下述除法计算得到

已知方程(u+a)n+(u+b)n－(u+a+b)n=0的常数项等于an+bn－(a+b)n，它的变号等于t1t2t3.

最后，gn(a，b)是方程的根，它是方程常数项的因式，应用性质3和性质4得出s1是t1的因式，s2是t2的因式，s3是t3的因式，证明完毕.

应用以上性质得出代数方程正根一结果.

定理 奇数n≥3，正整数a＞0，b＞0时，方程(u+a)n+(u+b)n=(u+a+b)n没有正整数的根.

证明 应用反证法.假设方程(u+a)n+(u+b)n=(u+a+b)n的惟一正根gn(a，b)是正整数.

一方面知道方程常数项绝对值(a+b)n－(an+bn)能被gn(a，b)整除.

另一方面从性质4得到gn(a，b)=hn(a+b，ab)＞0中不含a+b的因式，因此(a+b)n不能被(a+b+2gn(a，b))整除(gn(a，b)=0的情况不会发生).

出现上述矛盾的原因，由于假设gn(a，b)是正整数所造成，所以gn(a，b)不是正整数，定理证明成立.

3 不定方程上的应用

历史名题1 奇数n≥3，不定方程xn+yn=zn没有正整数x＞0，y＞0，z＞0的解.

证明 若不然，存在一组正整数x0，y0，z0的解.显然 z0＞ x0，z0＞ y0，z0－ y0=a，z0－x0=b，存在正整数a＞0，b＞0，由此可知2z0－(x0+y0)=a+b.易知x0+y0＞z0，这样就有z0＞a+b.因此存在正整数u＞0，使得z0=u+a+b，还有x0=u+a，y0=u+b，代入不定方程xn+yn=zn中去，就有

这是a，b，u都是正整数.

本文上节定理指出:正整数a＞0，b＞0，代数方程(u+a)n+(u+b)n=(u+a+b)n不存在正整数u＞0的根.

发生矛盾，所以不存在正整数x0，y0，z0的解，证明完毕.

最后，值得一提的勾股形有一个有趣的命题，Fermat指出:直角形的三边都是正整数时，那么直角三角形的面积不是平方数.现在应用这个命题得出一个结果.

历史名题2 整数k≥1，不定方程x4k+y4k=z4k没有正整数x＞0，y＞0，z＞0的解.

证明 若不然，存在一组正整数x0，y0，z0的解.

这与Fermat命题发生矛盾，因此不存在正整数x0，y0，z0的解，证明完毕.

以上2个历史各题结合起来，给出著名的Fermat大定理的证明.

历史名题3(Femat大定理) 整数m≥3，不定方程xm+ym=zm没有正整数x＞0，y＞0，z＞0的解.

证明 整数m≥3时，m一定含有奇数n≥3或者含有整数4，两者至少有一种情况发生.

当m=nk，这里整数k≥1时，不定方程可以写成(xk)n+(yk)n=(zk)n，从历史名题1知道不定方程没有正整数 x＞0，y＞0，z＞0的解.

又当m=4k，这里整数k≥1时，不定方程从历史名题2知道没有正整数x＞0，y＞0，z＞0的解.

［附注］Fermat大定理又名Fermat猜想，法国数学家Fermat在1637年提出，经历许多数学家的长期研究，直至1995年英国数学家Wiles综合应用代数、数论、几何等方面的重要成果，在Taylor与他合作完成的一篇论文，补充他原文的不足，为证明铺垫了道路，这是“一个困惑了世间智者358年的谜”.

［1］耿济.数学娱乐(一)——夫妻问题的新证与应用［J］.海南大学学报:自然科学版，2007，25(4):321－324.

［2］耿济.数学娱乐(二)——牙牌问题的新证与推广［J］.海南大学学报:自然科学版，2008，26(3):206－219.

［3］耿济.数学娱乐(三)——洛书定理与应用［J］.海南大学学报:自然科学版，2008，26(4):303 －308.

［4］耿济.数学娱乐(四)——Nasik幻方的性质与构造法［J］.海南大学学报:自然科学版，2009，27(2):107－115.

［5］耿济.数学娱乐(五)——推广Fibonacci数列与幂级和［J］.海南大学学报:自然科学版，2009，27(4):313－319.

［6］耿济.数学娱乐(六)——移棋相间［J］.海南大学学报:自然科学版，2010，28(1):1 －10，14.

［7］耿济.数学娱乐(七)——一个麻将和牌问题［J］.海南大学学报:自然科学版，2010，28(2):93－98.

［8］耿济.数学娱乐(八)——易经卦象的起源与考古发现的奇字［J］.海南大学学报:自然科学版，2011，29(2):99－103.

［9］耿济.数学娱乐(九)——学习《九章算术》的收获［J］.海南大学学报:自然科学版，2011，29(4):297 －304.

［10］耿济.新多项式与Fermat最后定理［J］.海南大学学报:自然科学版，1985，7(2):1－17.

［11］耿济.二项式定理的等价公式的证明及其应用［J］.数学通报，1962(12):33－36.

Mathematical Recreation(Ⅸ):
Study of Arithmetic in Nine Sections and Harvest

GENG Ji

(Hainan University，Haikou 570228，China)

In our report，right triangle of Arithmetic in Nine Sections was studied，a theorem of algebraic equation was obtained，and its applications on indefinite equation were discussed.

right triangle;algebraic equation;indefinite equation

O 119 < class="emphasis_bold">文献标志码:A

A

1004－1729(2012)02－0095－08

2011－11－08

耿济(1929－)，男，江苏镇江人，海南大学教授，国务院(1992年)颁发的政府特殊津贴专家.